Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 9 que pede para achar as assíntotas horizontais e verticais da função . Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas em funções racionais e como identificá-las analisando o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem nos valores de que fazem o denominador da função igual a zero, pois nesses pontos a função tende ao infinito. Na nossa função, o denominador é . Então, igualando a zero:
Portanto, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais observam o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Para funções racionais, comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador:
  • Graus igual: a assíntota horizontal é o coeficiente principal do numerador dividido pelo do denominador.
  • Grau do numerador maior: não há assíntota horizontal (pode haver uma assíntota oblíqua).
  • Grau do denominador maior: a assíntota horizontal é .
No nosso caso:
  • Grau do numerador ( ) é 2.
  • Grau do denominador ( ) é 1.
    Como o grau do numerador é maior que o do denominador, não há assíntota horizontal. Porém, podemos ter uma assíntota oblíqua.

Passo 4

Para encontrar a possível assíntota oblíqua, dividimos o polinômio do numerador pelo do denominador:
Quando tende ao infinito, o termo tende a zero. Portanto, a assíntota oblíqua é:

Resposta

A função possui:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota oblíqua:
    Não há assíntota horizontal.

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Nos problemas 1 a 22, calcule o limite.
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