Nos problemas de 7 a 10 determine a solução geral da EDO não homogênea.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau que não é homogênea. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de ordem 2 e coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar conhecer métodos para EDO não homogêneas, como a solução geral que combina a solução da homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo da direita:
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler. Sabemos que para resolver esse tipo de equação, assumimos uma solução da forma
.
Passo 3
Vamos substituir
na equação homogênea:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Isso leva à equação característica:
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, temos duas soluções lineares independentes para a equação homogênea:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação dos parâmetros ou tentar uma solução na forma similar ao termo da direita. Porém, devido à complexidade do termo
, vamos optar por uma solução particular.
Passo 6
Outra abordagem é utilizar uma substituição para simplificar a equação. Vamos fazer
, então
e
.
Expressando a equação em termos de
:
No entanto, isso não simplifica significativamente a equação. Portanto, vamos tentar outra estratégia.
Passo 7
Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Para resolver essa igualdade, vamos igualar os numeradores, considerando que os denominadores são iguais:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Combining like terms:
Passo 9
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Isso indica que nossa suposição para a forma da solução particular está incorreta. Precisamos tentar uma forma diferente.
Passo 10
Vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 11
Vamos igualar os numeradores dos termos com denominadores semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 12
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para
:
Termo constante:
Portanto, a equação fica:
Passo 13
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Isso mostra que nossa suposição ainda não está correta. Precisamos tentar outra forma para a solução particular.
Passo 14
Vamos tentar uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Essa abordagem também não simplifica o processo de encontrar
. Portanto, precisamos considerar métodos mais avançados ou uma combinação de termos para a solução particular.
Passo 15
Diante das tentativas anteriores, vamos optar pelo método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Para encontrar
, usamos a variação dos parâmetros, onde assumimos:
Passo 16
Calculando as derivadas de
:
Mas, para simplificar, usamos as condições para variação dos parâmetros:
Passo 17
Resolvendo o sistema de equações para
e
:
Primeira equação:
Segunda equação:
Substituindo
da primeira na segunda:
Passo 18
Integramos
para encontrar
:
Vamos simplificar a fração:
Resolvendo para
,
,
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para
:
Para
:
Expandindo:
Comparando coeficientes:
Para
:
Portanto, a decomposição é:
Passo 19
Integrando
:
Desconsideramos a constante de integração pois ela será absorvida na solução geral.
Passo 20
Agora, encontramos
:
Integrando:
Novamente, desconsideramos a constante de integração.
Passo 21
Agora, substituímos
e
na expressão para
:
Simplificando:
Passo 22
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.