Nos problemas de 7 a 10 determine a solução geral da EDO não homogênea.
x^2 y'' + x y' - y = 1/(x+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau que não é homogênea. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de ordem 2 e coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar conhecer métodos para EDO não homogêneas, como a solução geral que combina a solução da homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo da direita:
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler. Sabemos que para resolver esse tipo de equação, assumimos uma solução da forma .

Passo 3

Vamos substituir na equação homogênea:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando :
Isso leva à equação característica:
Simplificando:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Então, temos duas soluções lineares independentes para a equação homogênea:
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação dos parâmetros ou tentar uma solução na forma similar ao termo da direita. Porém, devido à complexidade do termo , vamos optar por uma solução particular.

Passo 6

Outra abordagem é utilizar uma substituição para simplificar a equação. Vamos fazer , então e .
Expressando a equação em termos de z:
No entanto, isso não simplifica significativamente a equação. Portanto, vamos tentar outra estratégia.

Passo 7

Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde A é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Para resolver essa igualdade, vamos igualar os numeradores, considerando que os denominadores são iguais:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Combining like terms:

Passo 9

Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para x^2:
ê
Isso indica que nossa suposição para a forma da solução particular está incorreta. Precisamos tentar uma forma diferente.

Passo 10

Vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde A e B são constantes a serem determinadas.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 11

Vamos igualar os numeradores dos termos com denominadores semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar denominadores:
Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 12

Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Para x^3:
Para x^2:
Para x:
Termo constante:
Portanto, a equação fica:

Passo 13

Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para x^3:
Para x^2:
ê
Isso mostra que nossa suposição ainda não está correta. Precisamos tentar outra forma para a solução particular.

Passo 14

Vamos tentar uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Essa abordagem também não simplifica o processo de encontrar A. Portanto, precisamos considerar métodos mais avançados ou uma combinação de termos para a solução particular.

Passo 15

Diante das tentativas anteriores, vamos optar pelo método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Para encontrar , usamos a variação dos parâmetros, onde assumimos:

Passo 16

Calculando as derivadas de :
Mas, para simplificar, usamos as condições para variação dos parâmetros:

Passo 17

Resolvendo o sistema de equações para e :
Primeira equação:
Segunda equação:
Substituindo da primeira na segunda:

Passo 18

Integramos para encontrar u1:
Vamos simplificar a fração:
Resolvendo para A, B, C:
Multiplicando ambos os lados por :
Para x = 0:
Para :
Expandindo:
Comparando coeficientes:
Para x^2:
Portanto, a decomposição é:

Passo 19

Integrando :
Desconsideramos a constante de integração pois ela será absorvida na solução geral.

Passo 20

Agora, encontramos :
Integrando:
Novamente, desconsideramos a constante de integração.

Passo 21

Agora, substituímos u1 e u2 na expressão para :
Simplificando:

Passo 22

Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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