Nos problemas de 1 a 6 determine a solução geral da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Esse tipo de equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos assumir uma solução da forma
, onde
é uma constante que a gente precisa encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
-
A primeira derivada é:
-
A segunda derivada é:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Fatorando
da equação:
Como
nunca é zero (a menos que
, o que não consideramos aqui), podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para
são:
Passo 7
Como temos duas soluções distintas para
, a solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: