Nos problemas de 1 a 6 determine a solução geral da EDO.
x^2 y'' - 3 x y + 3 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Esse tipo de equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos assumir uma solução da forma , onde é uma constante que a gente precisa encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
  • A primeira derivada é:
  • A segunda derivada é:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Fatorando da equação:
Como nunca é zero (a menos que , o que não consideramos aqui), podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções para são:

Passo 7

Como temos duas soluções distintas para , a solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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