Nos problemas de 1 a 6 determine a solução geral da EDO.
Passo 1
Beleza, a gente tem que resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Esse tipo de equação é conhecida como equação de Cauchy-Euler, que é uma forma especial de equações diferenciais com coeficientes que variam de acordo com a potência de
. Para resolver, vamos precisar assumir soluções do tipo
, onde
é um número que a gente precisa descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
. Se a gente derivar isso, temos:
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original.
Passo 3
Substituindo na equação
:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, podemos fatorar
da expressão:
Como
não é zero, a gente foca na parte dentro dos colchetes:
Expandindo:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática para encontrar
:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação é uma combinação linear das soluções correspondentes:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.