Nos problemas de 1 a 6 determine a solução geral da EDO.
x^2 y'' - 3 x y' - 4 y = 0

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a equação diferencial de segunda ordem . Esse tipo de equação é conhecida como equação de Cauchy-Euler, que é uma forma especial de equações diferenciais com coeficientes que variam de acordo com a potência de . Para resolver, vamos precisar assumir soluções do tipo , onde é um número que a gente precisa descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma . Se a gente derivar isso, temos:
Agora, vamos substituir , e na equação original.

Passo 3

Substituindo na equação :
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, podemos fatorar da expressão:
Como não é zero, a gente foca na parte dentro dos colchetes:
Expandindo:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática para encontrar :
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 6

Com os valores de encontrados, a solução geral da equação é uma combinação linear das soluções correspondentes:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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