Nos problemas de 11 a 14 , resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.
9 y'' + 6 y' + 82 y = 0,
y(0) = -1, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: . Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de algebrinha para encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, a gente vai resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, vamos montar a equação característica associada, que é obtida substituindo por , por e por 1:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A fórmula de Bhaskara nos ajuda a encontrar as raízes:
Aqui, , e . Vamos calcular o discriminante ( ):

Passo 4

Como o discriminante é negativo ( ), sabemos que as raízes são complexas. Vamos calcular as raízes usando os valores encontrados:

Passo 5

Com as raízes complexas , onde e , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar usando a condição inicial para . Primeiro, precisamos derivar :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando com :
Para :
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que temos e , substituímos na solução geral:

Passo 9

Para esboçar o gráfico da solução, vamos analisar os componentes:
  • O termo indica que a amplitude da oscilação decresce exponencialmente conforme aumenta.
  • Os termos e mostram que a solução oscila com frequência angular de rad/s.

Passo 10

Quando cresce, o fator exponencial faz com que a amplitude das oscilações diminua, aproximando-se de zero. Ou seja, a solução oscila ao redor do eixo e vai perdendo energia com o tempo, estabilizando no equilíbrio.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
O gráfico dessa solução apresenta oscilações cujas amplitudes diminuem exponencialmente conforme aumenta, estabilizando-se no eixo horizontal à medida que o tempo cresce.

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