Nos problemas de 11 a 14 , resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Além disso, temos as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de algebrinha para encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, a gente vai resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, vamos montar a equação característica associada, que é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A fórmula de Bhaskara nos ajuda a encontrar as raízes:
Aqui,
,
e
. Vamos calcular o discriminante (
):
Passo 4
Como o discriminante é negativo (
), sabemos que as raízes são complexas. Vamos calcular as raízes usando os valores encontrados:
Passo 5
Com as raízes complexas
, onde
e
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar
usando a condição inicial para
. Primeiro, precisamos derivar
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando com
:
Para
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos
e
, substituímos na solução geral:
Passo 9
Para esboçar o gráfico da solução, vamos analisar os componentes:
- O termo
indica que a amplitude da oscilação decresce exponencialmente conforme aumenta. - Os termos
e mostram que a solução oscila com frequência angular de rad/s.
Passo 10
Quando
cresce, o fator exponencial
faz com que a amplitude das oscilações diminua, aproximando-se de zero. Ou seja, a solução oscila ao redor do eixo
e vai perdendo energia com o tempo, estabilizando no equilíbrio.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
O gráfico dessa solução apresenta oscilações cujas amplitudes diminuem exponencialmente conforme
aumenta, estabilizando-se no eixo horizontal à medida que o tempo cresce.