Encontre a solução das seguintes equações
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com uma equação que envolve derivadas, ou seja, uma equação diferencial. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis ou encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar o termo que envolve a derivada
:
Passo 3
Agora, dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 4
Vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 5
Agora, reescrevemos a equação diferencial de forma que os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro:
Passo 6
Observamos que a equação é não linear devido ao termo
. Para resolver, fazemos uma substituição. Vamos definir
. Então,
.
Passo 7
Substituímos
e
na equação original:
Como
, substituímos novamente:
Passo 8
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver, encontramos o fator integrante
.
Passo 9
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 10
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Isolamos
:
Passo 12
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.