Nos problemas 1 a 14, (a) trace o gráfico das funçōes dadas, (b) ache os limites laterais das funçōes dadas quando x tende para a pela direita e pela esquerda, © determine o limite da função quando x tende para a (se o limite existe) e (d) use a definição de continuidade e diga se a função dada é contínua em a.
1 f(x) = { 5 + x se x <= 3 ; 9 - x se x > 3 ; a = 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar uma função feita de duas partes e verificar algumas propriedades dela no ponto . A matéria aqui envolve funções definidas por partes, limites e continuidade. Vamos precisar entender como a função se comporta quando se aproxima de 3 por diferentes lados e aplicar a definição de continuidade para ver se a função é contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a função :
Isso significa que para valores de menores ou iguais a 3, a função é , e para valores maiores que 3, a função vira . Vamos visualizar esse comportamento.

Passo 3

(a) Traçar o gráfico das funções:
Para , a função é . Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 5. Para , a função é , que também é uma reta, mas com inclinação -1 e intercepto em 9. No ponto :
  • Usando a primeira parte, .
  • Usando a segunda parte, se aproximarmos de 3 pela direita, vamos ver como a função se comporta.
Então, no gráfico, teremos duas retas que se encontram ou não no ponto . Vamos averiguar isso nos próximos passos.

Passo 4

(b) Calcular os limites laterais quando tende para 3 pela esquerda e pela direita:
  • Limite pela esquerda ( ):
    Usamos a parte da função válida para , ou seja, .
  • Limite pela direita ( ):
    Usamos a parte da função válida para , ou seja, .

Passo 5

© Determinar o limite da função quando tende para 3:
Para o limite existir em , os limites laterais devem ser iguais.
Como , o limite geral não existe:
ã

Passo 6

(d) Verificar a continuidade da função em usando a definição de continuidade:
A definição de continuidade em exige que três condições sejam satisfeitas:
  1. A função esteja definida em .
  2. O limite da função quando tende para 3 exista.
  3. O limite seja igual ao valor da função em 3.
Vamos checar:
  1. Função definida em 3:
  2. Limite existe:
    Já vimos que o limite geral não existe porque os limites laterais são diferentes.
  3. Igualdade do limite com o valor da função:
    Não se aplica, já que o limite não existe.
Como a segunda condição falha, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em porque os limites laterais são diferentes ( e ) e, portanto, o limite geral não existe.

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