Nos problemas 1 a 14, (a) trace o gráfico das funçōes dadas, (b) ache os limites laterais das funçōes dadas quando
tende para
pela direita e pela esquerda, © determine o limite da função quando
tende para
(se o limite existe) e (d) use a definição de continuidade e diga se a função dada é contínua em
.
Passo 1
Beleza, temos uma função definida por partes e precisamos analisar ela no ponto
. Vamos trabalhar com limites laterais, calcular o limite da função quando
se aproxima de 1 e verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando
vem pela direita e pela esquerda de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas expressões que definem a função
:
Isso significa que quando
é maior que 1, usamos
, e quando
é menor ou igual a 1, usamos
.
Passo 3
Agora, vamos traçar o gráfico dessa função. Para
, a função
é uma reta decrescente que passa pelo ponto (1,1). Para
, a função
é uma parábola que também passa pelo ponto (1,1). No gráfico, as duas partes se encontram suavemente em
.
Passo 4
Vamos calcular os limites laterais quando
se aproxima de 1.
Limite pela direita (
):
Aqui, usamos
:
Limite pela esquerda (
):
Aqui, usamos
:
Passo 5
Como os limites pela direita e pela esquerda são iguais (
), o limite da função quando
tende a 1 existe e é igual a 1:
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade da função em
. Segundo a definição de continuidade, a função é contínua em
se:
Sabemos que:
E vimos que:
Como os dois valores são iguais, a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.