Nos problemas 1 a 14, (a) trace o gráfico das funçōes dadas, (b) ache os limites laterais das funçōes dadas quando x tende para a pela direita e pela esquerda, © determine o limite da função quando x tende para a (se o limite existe) e (d) use a definição de continuidade e diga se a função dada é contínua em a.
7 f(x) = { 2 - x se x > 1; x^2 se x <= 1 } ; a = 1

Passo 1

Beleza, temos uma função definida por partes e precisamos analisar ela no ponto . Vamos trabalhar com limites laterais, calcular o limite da função quando se aproxima de 1 e verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando vem pela direita e pela esquerda de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas expressões que definem a função :
Isso significa que quando é maior que 1, usamos , e quando é menor ou igual a 1, usamos .

Passo 3

Agora, vamos traçar o gráfico dessa função. Para , a função é uma reta decrescente que passa pelo ponto (1,1). Para , a função é uma parábola que também passa pelo ponto (1,1). No gráfico, as duas partes se encontram suavemente em .

Passo 4

Vamos calcular os limites laterais quando se aproxima de 1.
Limite pela direita ( ):
Aqui, usamos :
Limite pela esquerda ( ):
Aqui, usamos :

Passo 5

Como os limites pela direita e pela esquerda são iguais ( ), o limite da função quando tende a 1 existe e é igual a 1:

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade da função em . Segundo a definição de continuidade, a função é contínua em se:
Sabemos que:
E vimos que:
Como os dois valores são iguais, a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em .

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