Nos problemas 1 a 14, (a) trace o gráfico das funçōes dadas, (b) ache os limites laterais das funçōes dadas quando x tende para a pela direita e pela esquerda, © determine o limite da função quando x tende para a (se o limite existe) e (d) use a definição de continuidade e diga se a função dada é contínua em a.
5 H(x) = { |x - 5| se x != 5 ; 2 se x = 5 } ; a = 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes chamada . A questão pede para a gente:
a) Traçar o gráfico dessa função.
b) Encontrar os limites laterais quando se aproxima de 5 pela direita e pela esquerda.
c) Determinar o limite da função quando tende a 5, se ele existir.
d) Usar a definição de continuidade para dizer se a função é contínua em .
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender o que é uma função por partes, como calcular limites laterais, o que é limite de uma função e a definição de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a definição da função :
Isso significa que para qualquer valor de diferente de 5, é igual ao valor absoluto de . Mas quando é exatamente 5, é igual a 2.

Passo 3

Agora, vamos traçar o gráfico da função .
Para :
O gráfico de é uma “V” com o vértice no ponto . Isso significa que para , a função é , e para , é .
Mas, no ponto , a função tem um valor diferente:
Então, no gráfico, a gente coloca um ponto aberto em e um ponto fechado em .

Passo 4

Vamos calcular os limites laterais quando tende a 5.
Limite pela esquerda ( ):
Para , .
Limite pela direita ( ):
Para , .

Passo 5

Como os limites laterais são iguais, podemos determinar o limite geral da função quando tende a 5.

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade em usando a definição de continuidade:
Para a função ser contínua em , três condições devem ser atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite existe.
  3. .
Vamos verificar:
  1. (definido).
  2. (calculado).
  3. .

Resposta

A função não é contínua em porque .

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