Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função definida por partes:
E a gente precisa analisar o comportamento dessa função quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender gráficos de funções por partes, como calcular limites laterais e verificar a continuidade no ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos traçar o gráfico da função . A função é definida de duas maneiras diferentes dependendo de :
Para :
Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 3.
Para :
Essa é outra reta, mas com inclinação -1 e também intercepto em 3.
Vamos desenhar essas duas retas no gráfico, marcando bem o ponto .
Passo 3
Agora, vamos calcular os limites laterais quando tende a 1.
Limite pela esquerda ():
Usamos a expressão quando :
Substituindo :
Limite pela direita ():
Usamos a expressão quando :
Substituindo :
Passo 4
Com os limites laterais calculados, vamos determinar o limite de quando tende a 1.
Para que o limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Como e , os limites são diferentes.
Portanto, o limite de quando tende a 1 não existe.
Passo 5
Por último, vamos verificar a continuidade da função em .
A definição de continuidade diz que uma função é contínua em se:
está definida.
existe.
.
Vamos verificar cada condição:
está definida?
Sim, para , usamos .
O limite existe?
Não, como vimos no Passo 4.
Igualdade dos limites?
Não se aplica porque o limite não existe.
Como o limite não existe, a função não é contínua em .
Resposta
A função não é contínua em porque os limites laterais são diferentes ( e ), fazendo com que o limite de quando tende a 1 não exista.