Nos problemas 1 a 14, (a) trace o gráfico das funçōes dadas, (b) ache os limites laterais das funçōes dadas quando x tende para a pela direita e pela esquerda, © determine o limite da função quando x tende para a (se o limite existe) e (d) use a definição de continuidade e diga se a função dada é contínua em a.
3 g(x) = { 3 + x se x <= 1 ; 3 - x se x > 1 ; a = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função definida por partes:
E a gente precisa analisar o comportamento dessa função quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender gráficos de funções por partes, como calcular limites laterais e verificar a continuidade no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos traçar o gráfico da função . A função é definida de duas maneiras diferentes dependendo de :
  1. Para :
    • Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 3.
  2. Para :
    • Essa é outra reta, mas com inclinação -1 e também intercepto em 3.
Vamos desenhar essas duas retas no gráfico, marcando bem o ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular os limites laterais quando tende a 1.
  • Limite pela esquerda ( ):
    • Usamos a expressão quando :
    • Substituindo :
  • Limite pela direita ( ):
    • Usamos a expressão quando :
    • Substituindo :

Passo 4

Com os limites laterais calculados, vamos determinar o limite de quando tende a 1.
Para que o limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
  • Como e , os limites são diferentes.
  • Portanto, o limite de quando tende a 1 não existe.

Passo 5

Por último, vamos verificar a continuidade da função em .
A definição de continuidade diz que uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. existe.
  3. .
Vamos verificar cada condição:
  1. está definida?
    • Sim, para , usamos .
  2. O limite existe?
    • Não, como vimos no Passo 4.
  3. Igualdade dos limites?
    • Não se aplica porque o limite não existe.
Como o limite não existe, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua em porque os limites laterais são diferentes ( e ), fazendo com que o limite de quando tende a 1 não exista.

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