Nos problemas 31-42, resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial dada por:
E uma condição inicial que diz que quando
,
.
Conteúdo da matéria: Vamos precisar usar equações diferenciais ordinárias, especificamente verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
O que vamos precisar: Entender o que é uma equação exata, como verificar se a equação é exata, e como encontrar um fator integrante se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma:
É exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
não é igual a
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação para torná-la exata.
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator depende apenas de
, ou seja,
.
Quando multiplicamos a equação por
, queremos que a nova equação seja exata. Isso significa que:
Mas na prática, usamos uma fórmula para encontrar
. A fórmula é:
Vamos aplicar isso.
Passo 4
Calculando a expressão dentro da integral:
Vemos que ainda temos um termo com
, o que complica a integração. Isso sugere que talvez o fator integrante não dependa apenas de
.
Vamos tentar verificar se o fator integrante depende apenas de
.
Passo 5
Assumindo que o fator integrante depende apenas de
,
, a fórmula para
seria:
Calculando dentro da integral:
Novamente, aparece um termo com
, o que não facilita. Então, parece que o fator integrante não depende apenas de
ou apenas de
.
Passo 6
Já que o fator integrante não depende apenas de
ou
, vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de ambos. No entanto, esse processo pode ser mais complexo e, para simplificar, observamos que a equação dada pode ser rearranjada para facilitar a resolução.
Vamos reescrever a equação original dividindo todos os termos por
:
Agora, vamos tentar separar as variáveis ou encontrar uma forma que permita a integração.
Passo 7
Observando a equação reescrita:
Podemos reorganizar para isolar
:
Isso nos dá uma equação na forma:
Vamos tentar uma substituição para simplificar essa equação. Observamos que a presença de
sugere que uma substituição como
pode ser útil.
Passo 8
Fazendo a substituição
, então
.
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo na equação original:
Simplificando os termos:
Agora, vamos reorganizar para separar as variáveis
e
:
Passo 9
Temos agora uma equação diferencial separável:
Podemos reescrever isso como:
Agora, vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar, vamos simplificar o denominador do lado esquerdo.
Passo 10
O denominador
é um quadrado perfeito:
Então, a integral fica:
Integrando ambos os lados:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Igualando as duas integrais (podemos juntar as constantes em uma só):
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
:
Passo 11
Agora, lembrando que
, substituímos de volta:
Vamos simplificar isso:
Podemos rearranjar para expressar
em termos de
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
.
Passo 12
Aplicando a condição inicial
quando
:
Simplificando:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Ou, rearranjando para expressar
:
Exercícios relacionados
Resolva as inequações. Ilustre as soluções na reta real e as expresse como intervalo ou união de intervalos.
Determinar os limites quando
tende a
,
e
das funções:
Use o Teorema da Comparação com
para mostrar que
é convergente.