Nos problemas 31-42, resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada. y^2 dx + (x^2 + x*y + y^2) dy, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial dada por:
E uma condição inicial que diz que quando , .
Conteúdo da matéria: Vamos precisar usar equações diferenciais ordinárias, especificamente verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
O que vamos precisar: Entender o que é uma equação exata, como verificar se a equação é exata, e como encontrar um fator integrante se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma:
É exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como não é igual a , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que multiplique a equação para torná-la exata.

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de ou apenas de . Vamos supor que o fator depende apenas de , ou seja, .
Quando multiplicamos a equação por , queremos que a nova equação seja exata. Isso significa que:
Mas na prática, usamos uma fórmula para encontrar . A fórmula é:
Vamos aplicar isso.

Passo 4

Calculando a expressão dentro da integral:
Vemos que ainda temos um termo com , o que complica a integração. Isso sugere que talvez o fator integrante não dependa apenas de .
Vamos tentar verificar se o fator integrante depende apenas de .

Passo 5

Assumindo que o fator integrante depende apenas de , , a fórmula para seria:
Calculando dentro da integral:
Novamente, aparece um termo com , o que não facilita. Então, parece que o fator integrante não depende apenas de ou apenas de .

Passo 6

Já que o fator integrante não depende apenas de ou , vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de ambos. No entanto, esse processo pode ser mais complexo e, para simplificar, observamos que a equação dada pode ser rearranjada para facilitar a resolução.
Vamos reescrever a equação original dividindo todos os termos por :
Agora, vamos tentar separar as variáveis ou encontrar uma forma que permita a integração.

Passo 7

Observando a equação reescrita:
Podemos reorganizar para isolar :
Isso nos dá uma equação na forma:
Vamos tentar uma substituição para simplificar essa equação. Observamos que a presença de sugere que uma substituição como pode ser útil.

Passo 8

Fazendo a substituição , então .
Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo na equação original:
Simplificando os termos:
Agora, vamos reorganizar para separar as variáveis e :

Passo 9

Temos agora uma equação diferencial separável:
Podemos reescrever isso como:
Agora, vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar, vamos simplificar o denominador do lado esquerdo.

Passo 10

O denominador é um quadrado perfeito:
Então, a integral fica:
Integrando ambos os lados:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Igualando as duas integrais (podemos juntar as constantes em uma só):
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos chamar de outra constante, digamos :

Passo 11

Agora, lembrando que , substituímos de volta:
Vamos simplificar isso:
Podemos rearranjar para expressar em termos de :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial .

Passo 12

Aplicando a condição inicial quando :
Simplificando:
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Ou, rearranjando para expressar :

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