Resolva as inequações. Ilustre as soluções na reta real e as expresse como intervalo ou união de intervalos.
|x + 1| < |2x - 1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Essa é uma questão de matemática, mais especificamente de inequações envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com desigualdades que têm módulos (valores absolutos) e como representá-las na reta real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número representa a sua distância da origem (0) na reta real. Então, é a distância de até 0, e é a distância de até 0.
Quando temos uma inequação como , isso significa que a distância de até 0 é menor que a distância de até 0. Vamos aplicar isso à nossa inequação:

Passo 3

Para resolver essa inequação, vamos considerar duas situações:
  1. Quando é positivo ou zero:
    Se , então .
    A inequação fica:
    Agora, vamos resolver .
  2. Quando é negativo:
    Se , então .
    A inequação fica:
    Também vamos resolver .

Passo 4

Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1:
Primeiro, encontramos o valor de que satisfaz :
Agora, resolvemos a inequação :
Isso significa que:
Resolvendo a primeira parte:
Resolvendo a segunda parte:
Considerando que e , a solução para este caso é .
Caso 2:
Primeiro, encontramos o valor de que satisfaz :
Agora, resolvemos a inequação :
Isso significa que:
Resolvendo a primeira parte:
Resolvendo a segunda parte:
Considerando que e , a solução para este caso é .

Resposta

A solução da inequação é ou . Em intervalo, fica:

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