Use o Teorema da Comparação com f(x)=1 / x^2 para mostrar que integral1^pi g(x) d x é convergente.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Precisamos usar o Teorema da Comparação com a função para demonstrar que a integral é convergente. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de integrais e a aplicação do Teorema da Comparação para verificar a convergência de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Comparação. Esse teorema nos permite comparar duas funções para determinar a convergência ou divergência de suas integrais. Especificamente, se temos duas funções positivas e definidas em um intervalo e para todo nesse intervalo, então:
  • Se é convergente, então também é convergente.

Passo 3

No nosso caso, e queremos comparar com . Para aplicar o Teorema da Comparação, precisamos verificar que no intervalo de integração .

Passo 4

Assumindo que integral1^pi 1x^2 , dx para todo em , podemos então calcular a integral de :

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
integral 1x^2 , dx = -1x + C
Aplicando os limites de integração:
[ -1x ]1^pi = -1pi - (-1) = 1 - 1pi
Isso nos dá um valor finito, portanto, a integral de é convergente.

Passo 6

De acordo com o Teorema da Comparação, já que é convergente e no intervalo considerado, segue que também é convergente.

Resposta

Portanto, usando o Teorema da Comparação com , concluímos que a integral é convergente.

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