Nos Problemas 37 a 39, calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano :
37. e pi: m x+2 y-3 z+n=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e que fazem com que a reta esteja dentro do plano . Aqui, estamos lidando com geometria analítica no espaço, e vamos precisar usar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano para encontrar e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para a reta estar contida no plano , todos os pontos da reta devem satisfazer a equação do plano. Ou seja, qualquer ponto na reta deve também estar no plano .
Passo 3
As equações paramétricas da reta x = -2 + t y = 3 - 2t z = 2t são:
m x + 2 y - 3 z + n = 0
E a equação do plano é:
Vamos substituir as expressões de , e da reta na equação do plano.
Passo 4
Substituindo:
m(-2 + t) + 2(3 - 2t) - 3(2t) + n = 0
Vamos distribuir os termos:
-2m + mt + 6 - 4t - 6t + n = 0
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(mt) + (-4t - 6t) + (-2m + 6 + n) = 0
Simplificando:
mt - 10t - 2m + 6 + n = 0
Passo 6
Para que essa equação seja verdadeira para todo valor de m - 10 = 0 , os coeficientes dos termos com -2m + 6 + n = 0 e os termos constantes devem ser iguais a zero. Então, temos duas equações:
Coeficiente de :
Termo constante:
Passo 7
Resolvendo a primeira equação:
m - 10 = 0 implies m = 10
Agora, substituímos -2(10) + 6 + n = 0 implies -20 + 6 + n = 0 implies n = 14 na segunda equação: