Nos Problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita as condiçōes iniciais indicada
.
,

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Nesse exercício, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma ferramenta que nos ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais lineares homogêneas. Para isso, substituímos por , onde é um número que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação original:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 5

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial :
Portanto, .

Passo 7

Normalmente, para encontrar a segunda constante , precisaríamos de uma segunda condição inicial, como . Porém, como ela não foi fornecida no enunciado, não podemos determinar com as informações disponíveis.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Onde é uma constante que dependeria de uma segunda condição inicial.

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