Nos Problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita as condiçōes iniciais indicada
.
,
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Nesse exercício, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é uma ferramenta que nos ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais lineares homogêneas. Para isso, substituímos
por
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação original:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 5
Com uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Portanto,
.
Passo 7
Normalmente, para encontrar a segunda constante
, precisaríamos de uma segunda condição inicial, como
. Porém, como ela não foi fornecida no enunciado, não podemos determinar
com as informações disponíveis.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde
é uma constante que dependeria de uma segunda condição inicial.
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