Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial: d y/d x = (4 x^2 y - y^3) / (x^3 - 2 x y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial dada é homogênea e depois resolvê-la. Estamos trabalhando com equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos em função de . Para resolver esse tipo de equação, geralmente usamos uma substituição que simplifica a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Olhando para a equação:
Vamos analisar os graus dos termos no numerador e no denominador. No numerador:
  • tem grau
  • tem grau
No denominador:
  • tem grau
  • tem grau
Como todos os termos do numerador e denominador têm grau 3, a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição , onde . Isso simplifica a equação e facilita a resolução.

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, temos:

Passo 6

Vamos isolar :
Então:

Passo 7

Agora, rearranjamos para separar as variáveis e :
Vamos integrar ambos os lados.

Passo 8

Primeiro, resolvemos a integral do lado esquerdo:
Podemos decompor a fração:
Resolvendo para , e , encontramos:
Então, a integral fica:

Passo 9

A integral do lado direito é:
Unindo as duas integrais:

Passo 10

Substituindo de volta:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados