Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial dada é homogênea e depois resolvê-la. Estamos trabalhando com equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos em função de . Para resolver esse tipo de equação, geralmente usamos uma substituição que simplifica a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Olhando para a equação:
Vamos analisar os graus dos termos no numerador e no denominador. No numerador:
  • tem grau
  • tem grau
No denominador:
  • tem grau
  • tem grau
Como todos os termos do numerador e denominador têm grau 3, a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição , onde . Isso simplifica a equação e facilita a resolução.

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, temos:

Passo 6

Vamos isolar :
Então:

Passo 7

Agora, rearranjamos para separar as variáveis e :
Vamos integrar ambos os lados.

Passo 8

Primeiro, resolvemos a integral do lado esquerdo:
Podemos decompor a fração:
Resolvendo para , e , encontramos:
Então, a integral fica:

Passo 9

A integral do lado direito é:
Unindo as duas integrais:

Passo 10

Substituindo de volta:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Quando coletamos várias leituras repetidas, podemos calcular a média aritmética e o desvio-padrão do conjunto dado. De posse desses parâmetros, calculamos a incerteza-padrão u a partir da equação 1:
Onde é o número de leituras.
Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:
As contribuições de incerteza devem ser expressas nas mesmas unidades antes de elas serem combinadas.
Se medirmos um comprimento, por exemplo, a incerteza da medição deve ser declarada em unidades de comprimento. Contudo, uma fonte de incerteza pode ser a variação da temperatura do ambiente. Embora a fonte dessa incerteza seja a temperatura, seu efeito se dará em termos de comprimento e, por isso, ela deve ser contabilizada em uma unidade de comprimento.