Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial dada é homogênea e depois resolvê-la. Estamos trabalhando com equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos em função de . Para resolver esse tipo de equação, geralmente usamos uma substituição que simplifica a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Olhando para a equação:
Vamos analisar os graus dos termos no numerador e no denominador. No numerador:
tem grau
tem grau
No denominador:
tem grau
tem grau
Como todos os termos do numerador e denominador têm grau 3, a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que confirmamos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição , onde . Isso simplifica a equação e facilita a resolução.
Passo 4
Vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, temos:
Passo 6
Vamos isolar :
Então:
Passo 7
Agora, rearranjamos para separar as variáveis e :
Vamos integrar ambos os lados.
Passo 8
Primeiro, resolvemos a integral do lado esquerdo:
Podemos decompor a fração:
Resolvendo para , e , encontramos:
Então, a integral fica:
Passo 9
A integral do lado direito é:
Unindo as duas integrais:
Passo 10
Substituindo de volta:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.