Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. Precisamos mostrar que essa equação é homogênea e, em seguida, resolver a equação diferencial. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e métodos de resolução associados.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial na forma
é homogênea se as funções
e
forem homogêneas do mesmo grau.
Aqui, temos:
Vamos verificar o grau de homogeneidade de cada função:
-
Para
: -
Para
:
Ambas as funções são homogêneas de grau 1. Portanto, a equação dada é homogênea.
Passo 3
Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos resolvê-la. Para equações diferenciais homogêneas, uma técnica comum é a substituição
, ou seja,
.
Derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar a equação obtida:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Isolando
:
Passo 5
A equação
é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante.
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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Onde
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