Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . Precisamos mostrar que essa equação é homogênea e, em seguida, resolver a equação diferencial. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e métodos de resolução associados.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial na forma é homogênea se as funções e forem homogêneas do mesmo grau.
Aqui, temos:
Vamos verificar o grau de homogeneidade de cada função:
  • Para :
  • Para :
Ambas as funções são homogêneas de grau 1. Portanto, a equação dada é homogênea.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos resolvê-la. Para equações diferenciais homogêneas, uma técnica comum é a substituição , ou seja, .
Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar a equação obtida:
Dividindo todos os termos por (assumindo ):
Isolando :

Passo 5

A equação é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para :
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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