Calcule as derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Aqui estamos lidando com derivadas de funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para resolver isso, vamos usar propriedades de logaritmos e regras de derivação. Precisaremos entender a derivada de funções exponenciais e como aplicar o logaritmo natural para facilitar a diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando o logaritmo natural. Tirar o logaritmo nos ajuda a transformar a potência em um produto, o que deixa a derivação mais fácil. Vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. No lado esquerdo, usamos a regra da derivada do logaritmo:
No lado direito, precisamos usar a regra do produto, já que temos
multiplicando
:
Então, colocando tudo junto:
Passo 5
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é: