Calcule as derivadas.
f(x) = x^sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui estamos lidando com derivadas de funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para resolver isso, vamos usar propriedades de logaritmos e regras de derivação. Precisaremos entender a derivada de funções exponenciais e como aplicar o logaritmo natural para facilitar a diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando o logaritmo natural. Tirar o logaritmo nos ajuda a transformar a potência em um produto, o que deixa a derivação mais fácil. Vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da derivada do logaritmo:
No lado direito, precisamos usar a regra do produto, já que temos multiplicando :
Então, colocando tudo junto:

Passo 5

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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