Muitos problemas práticos da engenharia exigem um raciocínio analítico do processo em questão e podem ser resolvidos de forma puramente analítica. Nesse contexto, a análise dimensional surge para auxiliar o processo de análise por meio das propriedades dos fluidos do processo. Por definição: Equação dimensional: equação monômio (ou seja, de um único termo) que relaciona uma grandeza derivada com a base completa. Em um determinado processo, um reservatório possui capacidade para armazenar 5000 kg de óleo cuja densidade é 500 kg/m3. Sabe-se que o reservatório estava inicialmente vazio e demorou 100 minutos para encher e a alimentação foi realizada em um tubo de 2 in de diâmetro. Utilizando os fundamentos da análise dimensional, é correto afirmar que:
Alternativa 1:A velocidade de entrada do óleo no tanque é 50 m/min.
Alternativa 2:A vazão mássica com a qual o tanque está sendo enchido é 8,3 kg/s.
Alternativa 3:A área da seção transversal da tubulação que enche o tanque é 0,2 m2.
Alternativa 4:A vazão volumétrica com a qual o tanque está sendo enchido é 1 m3/min.
Alternativa 5:O tanque possui uma capacidade de armazenar 10 L do óleo em questão.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema relacionado à análise dimensional na engenharia. Basicamente, temos um reservatório que pode armazenar 5000 kg de óleo, sabendo que a densidade desse óleo é de 500 kg/m³. O reservatório estava vazio e demorou 100 minutos para encher, com a alimentação acontecendo por um tubo de 2 polegadas de diâmetro. Nosso objetivo é analisar essas informações para descobrir qual das alternativas apresentadas está correta usando os conceitos de análise dimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender alguns conceitos básicos que vamos precisar:
  • Densidade ( rho): Massa por unidade de volume. Aqui, rho = 500 , kg/m^3.
  • Vazão mássica ( dotm): Quantidade de massa que passa por um ponto por unidade de tempo.
  • Vazão volumétrica ( dotQ): Quantidade de volume que passa por um ponto por unidade de tempo.
  • Área da seção transversal (A): Área da superfície através da qual o fluido passa.
Vamos calcular cada um desses passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o volume total do óleo que o reservatório pode armazenar. Sabemos que:
Volume = MassaDensidade = 5000 , kg500 , kg/m^3 = 10 , m^3
Mas isso já indica que a alternativa 5 está errada, pois ela menciona 10 litros, e na verdade é 10 metros cúbicos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a vazão volumétrica ( dotQ). Sabemos que o tempo para encher o reservatório é de 100 minutos:
dotQ = VolumeTempo = 10 , m^3100 , min = 0,1 , m^3/min
Isso nos ajuda a verificar as alternativas 2 e 4.

Passo 5

Vamos converter a vazão volumétrica para unidades mais comuns:
0,1 , m^3/min = 100 , L/min
Então, a alternativa 4 que diz que a vazão volumétrica é 1 m³/min está incorreta, já que calculamos 0,1 m³/min.

Passo 6

Agora, vamos calcular a vazão mássica ( dotm) usando a relação entre vazão volumétrica e densidade:
dotm = rho times dotQ = 500 , kg/m^3 times 0,1 , m^3/min = 50 , kg/min
Convertendo para kg/s:
50 , kg/min div 60 approx 0,83 , kg/s
Isso se relaciona com a alternativa 2, que menciona 8,3 kg/s. Contudo, nosso cálculo deu aproximadamente 0,83 kg/s, então essa alternativa também está incorreta.

Passo 7

Vamos calcular agora a velocidade de entrada ( v) do óleo no tubo. Primeiro, precisamos determinar a área da seção transversal do tubo. O diâmetro é de 2 polegadas, que é aproximadamente 0,0508 metros (já que 1 polegada = 0,0254 metros).
A área A é dada por:
A = pi (d2)^2 = pi (0,05082)^2 approx 0,00203 , m^2
Agora, usando a vazão volumétrica:
dotQ = A times v Rightarrow v = dotQA = 0,1 , m^3/min0,00203 , m^2 approx 49,26 , m/min
Isso nos aproxima de 50 m/min, que é a alternativa 1.

Resposta

A alternativa 1: A velocidade de entrada do óleo no tanque é 50 m/min está correta.

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