Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de e também fator integrante dependendo só de . Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Nosso objetivo é verificar que essa equação admite fatores integrantes que dependem apenas de e apenas de . Depois disso, vamos resolver a equação de duas maneiras diferentes, usando cada um desses fatores integrantes. Para isso, vamos precisar entender o que é um fator integrante e como aplicá-lo em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Vamos colocar tudo em termos de :
Podemos dividir toda a equação por para isolar :
Agora, temos uma equação diferencial linear da forma:
onde .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos achar um fator integrante. Um fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, torna a equação exata, ou seja, fácil de integrar.
Primeiro, vamos procurar um fator integrante que depende apenas de . A fórmula para o fator integrante em uma equação linear é:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Calculando a integral de :
Observando o denominador, , percebemos que sua derivada é , que coincide com o numerador. Isso simplifica a integral:
Desconsiderando a constante para o fator integrante, temos:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A ideia aqui é que a equação agora é uma derivada de . Assim, podemos escrever:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Essa é a solução geral da equação diferencial usando o fator integrante que depende apenas de .

Passo 7

Agora, vamos encontrar um fator integrante que depende apenas de . Para isso, consideramos a equação original:
Podemos reescrever como:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo é:
Já o lado direito, como vimos anteriormente, simplifica para:
Portanto:

Passo 9

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos substituir por uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Nos problemas de 1-7, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.

Resp: