Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de
e também fator integrante dependendo só de
. Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Nosso objetivo é verificar que essa equação admite fatores integrantes que dependem apenas de
e apenas de
. Depois disso, vamos resolver a equação de duas maneiras diferentes, usando cada um desses fatores integrantes. Para isso, vamos precisar entender o que é um fator integrante e como aplicá-lo em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Vamos colocar tudo em termos de
:
Podemos dividir toda a equação por
para isolar
:
Agora, temos uma equação diferencial linear da forma:
onde
.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos achar um fator integrante. Um fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, torna a equação exata, ou seja, fácil de integrar.
Primeiro, vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
. A fórmula para o fator integrante
em uma equação linear é:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Calculando a integral de
:
Observando o denominador,
, percebemos que sua derivada é
, que coincide com o numerador. Isso simplifica a integral:
Desconsiderando a constante
para o fator integrante, temos:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A ideia aqui é que a equação agora é uma derivada de
. Assim, podemos escrever:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial usando o fator integrante que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar um fator integrante que depende apenas de
. Para isso, consideramos a equação original:
Podemos reescrever como:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo é:
Já o lado direito, como vimos anteriormente, simplifica para:
Portanto:
Passo 9
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos substituir
por uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Justifique que para que uma equação diferencial
admita um fator integrante
, dependendo só de
, é necessário que
dependa só de
.
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Nos problemas de 1-7, resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Resp:
Resp: