Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Nosso objetivo é descobrir se essa integral é convergente (ou seja, se ela tem um valor definido) e, se for, calcular esse valor. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e funções com pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
tem um ponto problemático em
, porque o denominador fica zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Isso significa que precisamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 a 2.
Passo 3
Vamos reescrever a integral assim:
Passo 4
Agora, analisamos a convergência de cada parte. Para isso, usamos a regra que diz que a integral
converge se o expoente
. No nosso caso,
, que é maior que -1, então ambas as integrais convergem.
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente. Começando pela primeira:
Fazendo uma substituição simples, deixamos a integral pronta para ser calculada:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda parte:
Usando a mesma antiderivada:
Passo 7
Finalmente, somamos as duas partes:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é 0.
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Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
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