Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
integral0^2 1(x-1)^1 / 3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Nosso objetivo é descobrir se essa integral é convergente (ou seja, se ela tem um valor definido) e, se for, calcular esse valor. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e funções com pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função tem um ponto problemático em , porque o denominador fica zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Isso significa que precisamos dividir a integral em duas partes: de 0 a 1 e de 1 a 2.

Passo 3

Vamos reescrever a integral assim:
integral0^2 1(x-1)^1 / 3 dx = integral0^1 1(x-1)^1/3 dx + integral1^2 1(x-1)^1/3 dx

Passo 4

Agora, analisamos a convergência de cada parte. Para isso, usamos a regra que diz que a integral converge se o expoente . No nosso caso, , que é maior que -1, então ambas as integrais convergem.

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente. Começando pela primeira:
integral0^1 1(x-1)^1/3 dx
Fazendo uma substituição simples, deixamos a integral pronta para ser calculada:
integral 1(x-1)^1/3 dx = 32 (x - 1)^2/3 + C
Avaliando de 0 a 1:
[ 32 (x - 1)^2/3 ]0^1 = 32 (1 - 1)^2/3 - 32 (0 - 1)^2/3 = 0 - 32 (-1)^2/3 = -32

Passo 6

Agora, calculamos a segunda parte:
integral1^2 1(x-1)^1/3 dx
Usando a mesma antiderivada:
[ 32 (x - 1)^2/3 ]1^2 = 32 (2 - 1)^2/3 - 32 (1 - 1)^2/3 = 32 (1)^2/3 - 0 = 32

Passo 7

Finalmente, somamos as duas partes:
-32 + 32 = 0

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 0.

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