Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
integral0^infty 1raizx+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que vai de 0 até o infinito de em relação a . O objetivo aqui é descobrir se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Se convergir, a gente também vai calcular qual é esse valor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais impróprias e entender como avaliar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar integral1^infty 1raizu , du . Isso significa que . Agora, quando , , e quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão integral1^infty u^-1/2 , du como . Assim, a integral fica:

Passo 4

A próxima etapa é integrar integral u^-1/2 , du = u^1/212 = 2raizu + C . A regra de integração para é , desde que . Aqui, , então:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 até integral1^b u^-1/2 , du = 2raizb - 2raiz1 = 2raizb - 2 e depois tomar o limite quando limb to infty (2raizb - 2) = infty vai para o infinito:
Agora, calculamos o limite:

Resposta

A integral é divergente, ou seja, não converge para um valor finito.

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