Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que vai de 0 até o infinito de
em relação a
. O objetivo aqui é descobrir se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Se convergir, a gente também vai calcular qual é esse valor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais impróprias e entender como avaliar limites.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Isso significa que
. Agora, quando
,
, e quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão
como
. Assim, a integral fica:
Passo 4
A próxima etapa é integrar
. A regra de integração para
é
, desde que
. Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 até
e depois tomar o limite quando
vai para o infinito:
Agora, calculamos o limite:
Resposta
A integral
é divergente, ou seja, não converge para um valor finito.
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Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
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e
e
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: