A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma integral definida de
de
a
. Nosso objetivo é entender por que essa integral é imprópria e, depois, calcular o valor dela. Vamos precisar saber um pouco sobre integrais impróprias e como lidar com pontos onde a função não está bem comportada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que a integral é imprópria. Uma integral é chamada de imprópria quando há descontinuidades ou comportamentos infinitos no intervalo de integração. No nosso caso, a função
apresenta um problema em
, porque
não está definido e, na verdade, tende a
quando
se aproxima de 0. Então, temos uma descontinuidade infinita em
, o que torna a integral imprópria.
Passo 3
Para resolver essa integral imprópria, precisamos dividir a integral em duas partes, uma de
a
e outra de
a
, e depois calcular os limites conforme
se aproxima de
:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a integral de
a
:
Aplicando os limites de
a
:
Sabemos que
tende a 0 quando
tende a 0, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
a
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 6
Somando os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral
é
.
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. Calcule:
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Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.