A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral-1^1 ln |x| d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma integral definida de de a . Nosso objetivo é entender por que essa integral é imprópria e, depois, calcular o valor dela. Vamos precisar saber um pouco sobre integrais impróprias e como lidar com pontos onde a função não está bem comportada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a integral é imprópria. Uma integral é chamada de imprópria quando há descontinuidades ou comportamentos infinitos no intervalo de integração. No nosso caso, a função apresenta um problema em , porque não está definido e, na verdade, tende a quando se aproxima de 0. Então, temos uma descontinuidade infinita em , o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Para resolver essa integral imprópria, precisamos dividir a integral em duas partes, uma de integral-1^1 ln |x| , dx = lima to 0^- integral-1^a ln |x| , dx + limb to 0^+ integralb^1 ln |x| , dx a e outra de a , e depois calcular os limites conforme se aproxima de :

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a integral de integral ln |x| , dx = x ln |x| - x + C a lima to 0^- [ a ln |a| - a - (-1 ln 1 + 1) ] = lima to 0^- (a ln |a| - a + 1) :
lima to 0^- (0 - 0 + 1) = 1
Aplicando os limites de a :
Sabemos que tende a 0 quando tende a 0, então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de integral ln |x| , dx = x ln |x| - x + C a limb to 0^+ [ 1 ln 1 - 1 - (b ln b - b) ] = limb to 0^+ (0 - 1 - 0 + 0) = -1 :
Aplicando os limites de a :

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
1 + (-1) = 0

Resposta

O valor da integral é .

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