A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma integral imprópria, que é aquela que tem um limite infinito ou uma descontinuidade no intervalo de integração. Aqui, a integral é
. O conteúdo que vamos usar é cálculo integral, especificamente o cálculo de integrais impróprias. Para resolver isso, precisamos entender o que torna a integral imprópria e como calcular seu valor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que a integral é imprópria. Uma integral é imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função tem uma descontinuidade nesse intervalo. No nosso caso, o limite superior é
, então a integral é imprópria porque estamos integrando até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a integral. Para isso, reescrevemos a integral com um limite finito
e depois fazemos
tender a infinito:
Passo 4
Vamos calcular a integral definida
. Sabemos que
pode ser escrito como
. A integral de
é
, desde que
. Então:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração
e
:
Passo 6
Finalmente, fazemos
tender a infinito:
Resposta
A integral
é imprópria porque o limite de integração é o infinito, e seu valor é
.
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Calcule o ponto de equilíbrio de mercado
e
e
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Uma empresa tem lucro dado por
. A demanda é
. Ache:
A função receita total
A função receita total
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
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