A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: integral1^infty 1x^3 / 2 d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma integral imprópria, que é aquela que tem um limite infinito ou uma descontinuidade no intervalo de integração. Aqui, a integral é . O conteúdo que vamos usar é cálculo integral, especificamente o cálculo de integrais impróprias. Para resolver isso, precisamos entender o que torna a integral imprópria e como calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que a integral é imprópria. Uma integral é imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função tem uma descontinuidade nesse intervalo. No nosso caso, o limite superior é , então a integral é imprópria porque estamos integrando até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos avaliar a integral. Para isso, reescrevemos a integral com um limite finito integral1^infty 1x^3/2 , dx = limb to infty integral1^b 1x^3/2 , dx e depois fazemos tender a infinito:

Passo 4

Vamos calcular a integral definida integral x^-3/2 , dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 = x^-1/2-1/2 = -2x^-1/2 = -2raizx . Sabemos que pode ser escrito como . A integral de é , desde que . Então:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração integral1^b 1x^3/2 , dx = [ -2raizx ]1^b = -2raizb - ( -2raiz1 ) = -2raizb + 2 e :

Passo 6

Finalmente, fazemos limb to infty ( -2raizb + 2 ) = 0 + 2 = 2 tender a infinito:

Resposta

A integral é imprópria porque o limite de integração é o infinito, e seu valor é .

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A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: integral-infty^infty e^-|x| d x.