Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir o máximo de 10 % de itens defeituosos na produção. Supondo que a produção esteja sob controle ( p=0.1 ) e que os itens sejam vendidos em caixa com 100 unidades, ache a probabilidade de que uma caixa tenha:
menos que 5 % de defeituosos

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um processo de controle de qualidade que limita a quantidade de itens defeituosos a no máximo 10 %. Aqui, $ p = 0.1 $ representa a probabilidade de um item ser defeituoso. Os itens são vendidos em caixas com 100 unidades cada. A pergunta é: qual a probabilidade de uma caixa ter menos que 5 % de itens defeituosos?
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 100 itens), cada uma com dois resultados possíveis (defeituoso ou não defeituoso).

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossos parâmetros:
  • $ n = 100 $ (número de itens na caixa)
  • $ p = 0.1 $ (probabilidade de um item ser defeituoso)
  • Queremos encontrar a probabilidade de ter menos que 5 % de itens defeituosos. Como temos 100 itens, 5 % de 100 é 5. Então, queremos $ P(X < 5) $, ou seja, $ P(X \leq 4) $.

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p^k $ é a probabilidade de exatamente $ k $ itens serem defeituosos.
  • $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de os outros $ n - k $ itens não serem defeituosos.

Passo 4

Vamos calcular $ P(X \leq 4) $, ou seja, a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 ou 4 itens defeituosos:
P(X <= 4)
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Distribuição Binomial.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. Para $ X = 0 $:
X = 0
  1. Para $ X = 1 $:
P(X=0) = binom1000 (0.1)^0 (0.9)^100 = 1 times 1 times 0.9^100 approx 0.000026
  1. Para $ X = 2 $:
X = 1
  1. Para $ X = 3 $:
P(X=1) = binom1001 (0.1)^1 (0.9)^99 = 100 times 0.1 times 0.9^99 approx 0.000294
  1. Para $ X = 4 $:
X = 2

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter $ P(X \leq 4) $:
P(X <= 4)

Resposta

A probabilidade de uma caixa ter menos que 5 % de itens defeituosos é aproximadamente 1,54 %.

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