Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir o máximo de
de itens defeituosos na produção. Supondo que a produção esteja sob controle (
) e que os itens sejam vendidos em caixa com 100 unidades, ache a probabilidade de que uma caixa tenha:
menos que
de defeituosos
menos que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um processo de controle de qualidade que limita a quantidade de itens defeituosos a no máximo 10 %. Aqui, $ p = 0.1 $ representa a probabilidade de um item ser defeituoso. Os itens são vendidos em caixas com 100 unidades cada. A pergunta é: qual a probabilidade de uma caixa ter menos que 5 % de itens defeituosos?
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 100 itens), cada uma com dois resultados possíveis (defeituoso ou não defeituoso).
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossos parâmetros:
- $ n = 100 $ (número de itens na caixa)
- $ p = 0.1 $ (probabilidade de um item ser defeituoso)
- Queremos encontrar a probabilidade de ter menos que 5 % de itens defeituosos. Como temos 100 itens, 5 % de 100 é 5. Então, queremos $ P(X < 5) $, ou seja, $ P(X \leq 4) $.
Passo 3
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
- $ p^k $ é a probabilidade de exatamente $ k $ itens serem defeituosos.
- $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de os outros $ n - k $ itens não serem defeituosos.
Passo 4
Vamos calcular $ P(X \leq 4) $, ou seja, a soma das probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 ou 4 itens defeituosos:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Distribuição Binomial.
Passo 5
Vamos calcular cada termo:
- Para $ X = 0 $:
- Para $ X = 1 $:
- Para $ X = 2 $:
- Para $ X = 3 $:
- Para $ X = 4 $:
Passo 6
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter $ P(X \leq 4) $:
Resposta
A probabilidade de uma caixa ter menos que 5 % de itens defeituosos é aproximadamente 1,54 %.