Um processo de encher garrafa de suco de laranja, em média, resulta em
das garrafas mal enchidas. Considere uma amostra de 125 garrafas.
Qual a probabilidade de que a proporção amostral de garrafas mal enchidas esteja entre
e
?
Qual a probabilidade de que a proporção amostral de garrafas mal enchidas esteja entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um processo que enche garrafas de suco de laranja, e em média, 10% das garrafas saem mal enchidas. Queremos saber a probabilidade de, em uma amostra de 125 garrafas, entre 9% e 11% delas estarem mal enchidas. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros do problema:
- Proporção média § das garrafas mal enchidas: $ p = 0,10 $
- Tamanho da amostra (n): $ n = 125 $
- Proporções que queremos analisar: entre 9% ($ 0,09
0,11 $)
Passo 3
Como estamos lidando com proporções em uma amostra grande, podemos usar a aproximação normal para a distribuição binomial. Isso é válido porque o tamanho da amostra é grande o suficiente e as condições $ np \geq 10 $ e $ n(1-p) \geq 10 $ são atendidas:
- $ np = 125 \times 0,10 = 12,5 \geq 10 $
- $ n(1-p) = 125 \times 0,90 = 112,5 \geq 10 $
Passo 4
Agora, vamos calcular a média ($ \mu
\sigma $) da distribuição das proporções amostrais:
Passo 5
Vamos transformar as proporções de 9% e 11% em escores z, que nos dizem quantos desvios padrão cada valor está da média:
Para 9% ($ X = 0,09 $):
Para 11% ($ X = 0,11 $):
Passo 6
Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes aos escores z:
- A probabilidade de $ z \leq 0,37 $ é aproximadamente 0,6443.
- A probabilidade de $ z \leq -0,37 $ é aproximadamente 0,3557.
Para encontrar a probabilidade entre $ z_1 $ e $ z_2 $, subtraímos:
Passo 7
Convertendo de volta para porcentagem, a probabilidade é de aproximadamente 28,86%.
Resposta
A probabilidade de que a proporção amostral de garrafas mal enchidas esteja entre 9% e 11% é de aproximadamente 28,86%.