Um processo de encher garrafa de suco de laranja, em média, resulta em 10 % das garrafas mal enchidas. Considere uma amostra de 125 garrafas.
Qual a probabilidade de que a proporção amostral de garrafas mal enchidas esteja entre 9 % e 11 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um processo que enche garrafas de suco de laranja, e em média, 10% das garrafas saem mal enchidas. Queremos saber a probabilidade de, em uma amostra de 125 garrafas, entre 9% e 11% delas estarem mal enchidas. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros do problema:
  • Proporção média § das garrafas mal enchidas: $ p = 0,10 $
  • Tamanho da amostra (n): $ n = 125 $
  • Proporções que queremos analisar: entre 9% ($ 0,09 p = 0,10 0,11 $)

Passo 3

Como estamos lidando com proporções em uma amostra grande, podemos usar a aproximação normal para a distribuição binomial. Isso é válido porque o tamanho da amostra é grande o suficiente e as condições $ np \geq 10 $ e $ n(1-p) \geq 10 $ são atendidas:
  • $ np = 125 \times 0,10 = 12,5 \geq 10 $
  • $ n(1-p) = 125 \times 0,90 = 112,5 \geq 10 $

Passo 4

Agora, vamos calcular a média ($ \mu mu ã \sigma $) da distribuição das proporções amostrais:
sigma
mu = p = 0,10

Passo 5

Vamos transformar as proporções de 9% e 11% em escores z, que nos dizem quantos desvios padrão cada valor está da média:
z = X - musigma
Para 9% ($ X = 0,09 $):
X = 0,09
Para 11% ($ X = 0,11 $):
z1 = 0,09 - 0,100,0268 approx -0,37

Passo 6

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes aos escores z:
  • A probabilidade de $ z \leq 0,37 $ é aproximadamente 0,6443.
  • A probabilidade de $ z \leq -0,37 $ é aproximadamente 0,3557.
Para encontrar a probabilidade entre $ z_1 $ e $ z_2 $, subtraímos:
z <= 0,37

Passo 7

Convertendo de volta para porcentagem, a probabilidade é de aproximadamente 28,86%.

Resposta

A probabilidade de que a proporção amostral de garrafas mal enchidas esteja entre 9% e 11% é de aproximadamente 28,86%.

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