Suponha que um fabricante afirme que uma certa droga fornece melhora dos sintomas de artrose e artrite em cavalos em 80 % dos casos após o uso contínuo por 7 dias.
Se a droga fosse administrada em 400 cavalos, qual seria a probabilidade da proporção amostral de melhora dos sintomas ser superior a 85 % ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A fabricante diz que uma droga melhora os sintomas de artrose e artrite em 80% dos cavalos após 7 dias de uso contínuo. A gente quer saber qual a chance de, se administrarmos essa droga em 400 cavalos, mais de 85% deles apresentarem melhora nos sintomas.
Para resolver isso, vamos usar a probabilidade de proporção amostral. Isso envolve estatística, especificamente a distribuição normal para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Proporção da população ($ p $): 0,80 (80%)
  • Tamanho da amostra ($ n $): 400 cavalos
  • Proporção amostral que queremos analisar ($ \hat{p} $): 0,85 (85%)

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Erro Padrão da proporção amostral. O Erro Padrão nos diz o quanto a proporção amostral pode variar em relação à proporção da população. A fórmula é:
Erro Padrão = raizp(1 - p)n ã
Substituindo os valores:
Erro Padrão = raiz0,80 times (1 - 0,80)400 = raiz0,80 times 0,20400 = raiz0,16400 = raiz0,0004 = 0,02 ã

Passo 4

Com o Erro Padrão calculado, podemos agora padronizar a proporção amostral para encontrar o escore z. O escore z nos mostra quantos desvios padrões a nossa proporção amostral está acima ou abaixo da proporção da população. A fórmula é:
z = p - pErro Padrão ã
Substituindo os valores:
z = 0,85 - 0,800,02 = 0,050,02 = 2,5

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de a proporção amostral ser superior a 85%. Isso equivale a encontrar a área à direita do valor z = 2,5 na distribuição normal padrão.
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, sabemos que a probabilidade de z ser menor que 2,5 é aproximadamente 0,9938. Portanto, a probabilidade de z ser maior que 2,5 é:
P(Z > 2,5) = 1 - P(Z < 2,5) = 1 - 0,9938 = 0,0062

Resposta

A probabilidade de que mais de 85% dos 400 cavalos apresentem melhora nos sintomas é de aproximadamente 0,62%.

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