Seja p(x) uma função tal que: p(-2)=1 / 8, p(-1)=2 / 8, p(0)=2 / 8, p(1)=2 / 8 e p(2)=1 / 8.
Verifique que p(x) é uma função de probabilidade e determine: P(X <= 2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função com valores específicos para diferentes valores de . Nosso objetivo é verificar se é uma função de probabilidade e então calcular . Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades de uma função de probabilidade e como calcular probabilidades acumuladas.

Passo 2

Uma função é considerada uma função de probabilidade se satisfaz duas condições principais:
  1. Não negatividade: Para todo valor de , .
  2. Soma das probabilidades igual a 1: A soma de todos os valores de deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas condições para a função dada.

Passo 3

Primeiro, verificamos a não negatividade:
p(-2) = 18 >= 0 p(-1) = 28 >= 0 p(0) = 28 >= 0 p(1) = 28 >= 0 p(2) = 18 >= 0
Todos os valores de são maiores ou iguais a zero, então a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a soma de todas as probabilidades é igual a 1:
sum p(x) = p(-2) + p(-1) + p(0) + p(1) + p(2) sum p(x) = 18 + 28 + 28 + 28 + 18 = 88 = 1
A soma das probabilidades é igual a 1, então a segunda condição também está satisfeita.

Passo 5

Como ambas as condições são atendidas, podemos concluir que é, de fato, uma função de probabilidade.

Passo 6

Agora, vamos determinar P(X <= 2) = p(-2) + p(-1) + p(0) + p(1) + p(2) , que representa a probabilidade de ser menor ou igual a 2. Como os valores possíveis de são , todos eles são menores ou iguais a 2. Portanto, a probabilidade é a soma de todas as probabilidades:

Passo 7

Calculando:
P(X <= 2) = 18 + 28 + 28 + 28 + 18 = 88 = 1

Resposta

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