Em procedimentos de inseminação artificial em vacas leiteiras o insucesso ocorre em 40 % das tentativas. Suponha que os eventos em que as tentativas são realizadas sejam independentes. Considere que 10 tentativas aconteçam:
(a) Qual a probabilidade de que para exatamente três tentativas fracassem?
(b) Qual a probabilidade de que para no mínimo uma tentativa não fracasse?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre inseminação artificial em vacas leiteiras, onde 40% das tentativas acabam fracassando. Precisamos calcular probabilidades relacionadas a 10 tentativas independentes. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver as partes (a) e (b).

Passo 2

Para a parte (a), queremos saber qual a probabilidade de exatamente três tentativas fracassarem. Isso fica claro que estamos lidando com uma distribuição binomial, onde temos um número fixo de tentativas (n = 10), cada tentativa tem dois resultados possíveis (fracasso ou sucesso), e a probabilidade de fracasso é constante (p = 0,4).
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • é o número de combinações de n itens tomados k a k.
  • é a probabilidade de ocorrência de k fracassos.
  • é a probabilidade dos demais não fracassarem.

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  • binom103 = 10!3!(10-3)! = 10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 120 (total de tentativas)
  • (fracassos desejados)
Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, calculamos p^k = 0,4^3 = 0,064 e (1-p)^n-k = 0,6^7 approx 0,02799 :

Passo 5

Agora, multiplicamos todos os termos para encontrar a probabilidade:
P(3) = 120 times 0,064 times 0,02799 approx 0,215

Passo 6

Para a parte (b), queremos saber a probabilidade de que no mínimo uma tentativa não fracasse, ou seja, pelo menos uma tentativa seja bem-sucedida. Em termos de probabilidade, isso é igual a 1 menos a probabilidade de todas as tentativas fracassarem.

Passo 7

Primeiro, calculamos a probabilidade de todas as 10 tentativas fracassarem:
P(todas fracassarem) = p^n = 0,4^10 approx 0,0001048576

Passo 8

Agora, subtraímos essa probabilidade de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos uma tentativa não fracassar:
P(pelo menos uma não fracassa) = 1 - P(todas fracassarem) = 1 - 0,0001048576 approx 0,999895 ã

Resposta

A probabilidade de que no mínimo uma tentativa não fracasse é de aproximadamente 99,99%.

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