Suponha que f(x)=x / 8, para 3. Determine as seguintes probabilidades:
(a) P(X<4)
(b) P(X>3,5)
© P(4
(d) P(X <= 4,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! A gente tem a função definida para . Nosso objetivo é calcular algumas probabilidades específicas usando essa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de densidade de probabilidade e como integrar para encontrar essas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que P(a < X < b) = integrala^b f(x) , dx é uma função de densidade de probabilidade (PDF) para a variável aleatória contínua no intervalo de 3 a 5. Isso significa que para encontrar a probabilidade de estar em algum intervalo dentro de , a gente integra sobre esse intervalo.
A fórmula geral para a probabilidade de estar entre e é:

Passo 3

Questão (a): P(X < 4) = integral3^4 x8 , dx

Aqui, a gente quer saber a probabilidade de integral x8 , dx = 18 cdot x^22 = x^216 ser menor que 4. Como a função P(X < 4) = x^216 |3^4 = 4^216 - 3^216 = 1616 - 916 = 716 só é válida de 3 a 5, isso significa que queremos integrar de 3 até 4.
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de 3 a 4:

Passo 4

Questão (b): P(X > 3,5) = integral3,5^5 x8 , dx

Agora, queremos a probabilidade de integral x8 , dx = x^216 ser maior que 3,5. Isso significa que vamos integrar de 3,5 até 5.
P(X > 3,5) = x^216 |3,5^5 = 2516 - 12,2516 = 12,7516 = 5164
Calculando a integral:
Avaliando de 3,5 a 5:

Passo 5

Questão ©: P(4 < X < 5) = integral4^5 x8 , dx

Aqui, a gente quer saber a probabilidade de integral x8 , dx = x^216 estar entre 4 e 5. Então, integramos de 4 a 5.
P(4 < X < 5) = x^216 |4^5 = 2516 - 1616 = 916
Calculando a integral:
Avaliando de 4 a 5:

Passo 6

Questão (d): P(X <= 4,5) = integral3^4,5 x8 , dx

Por último, queremos a probabilidade de integral x8 , dx = x^216 ser menor ou igual a 4,5. A integral será de 3 até 4,5.
P(X <= 4,5) = x^216 |3^4,5 = 20,2516 - 916 = 11,2516 = 4564
Calculando a integral:
Avaliando de 3 a 4,5:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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