Suponha que o número de divisões celulares por meiose em um minuto de estudo seja uma variável aleatória de Poisson. Suponha também que P(X=0)=0,05. Determine a média e a variância de X.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma variável aleatória que representa o número de divisões celulares por meiose em um minuto de estudo, e ela segue uma distribuição de Poisson. O enunciado nos dá que . Nosso objetivo é determinar a média e a variância de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição de Poisson. Essa distribuição é usada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e independentemente do tempo desde o último evento.
A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • é a média (e também a variância) da distribuição,
  • é o número de ocorrências,
  • é a base dos logaritmos naturais.
No nosso caso, sabemos que . Vamos usar isso para encontrar .

Passo 3

Substituindo P(X = 0) = lambda^0 e^-lambda0! = e^-lambda na fórmula da Poisson:
e^-lambda = 0,05
Sabemos que , então:

Passo 4

Para encontrar e^-lambda = 0,05 , vamos resolver a equação:
-lambda = ln(0,05)
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
lambda = -ln(0,05)
lambda approx -ln(0,05) approx 2,9957
Calculando o valor numérico:

Passo 5

Na distribuição de Poisson, a média mu = lambda approx 2,9957 e a variância sigma^2 = lambda approx 2,9957 são iguais a . Portanto:

Resposta

A média de é aproximadamente 2,996 e a variância de também é aproximadamente 2,996.

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