Seja F(x) a função de distribuição acumulada definida por:
F(x)=cc 0 & x<1 0,7 & 1 <= x<4 0,9 & 4 <= x<7 1 & x >= 7
Obtenha a função de probabilidade p(x) e o espaço amostral de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de distribuição acumulada, F(x), que nos mostra a probabilidade de uma variável aleatória X ser menor ou igual a um certo valor x. Aqui, precisamos encontrar a função de probabilidade p(x), que nos dá as probabilidades de X assumir valores específicos, e também identificar o espaço amostral de X, que é o conjunto de todos os possíveis resultados que X pode ter. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição acumulada e probabilidade discreta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função de distribuição acumulada F(x) está nos dizendo. Ela está definida de forma a mudar de valor em certos pontos de x:
F(x)=cc 0 & x<1 0,7 & 1 <= x<4 0,9 & 4 <= x<7 1 & x >= 7
Isso significa que antes de x=1, a probabilidade acumulada é 0, depois de x=1 até antes de x=4, é 0,7, e assim por diante.

Passo 3

A função de probabilidade p(x) para uma variável discreta pode ser encontrada observando os saltos na função de distribuição acumulada F(x). Cada salto corresponde a uma probabilidade de X assumir o valor onde ocorre o salto.
Para encontrar p(x), vamos calcular a diferença entre os valores de F(x) nos pontos onde ele muda.

Passo 4

Vamos identificar os pontos onde F(x) muda de valor:
  • Em x=1: F(1) = 0,7
  • Em x=4: F(4) = 0,9
  • Em x=7: F(7) = 1
Agora, calculamos as diferenças para encontrar p(x):
  • p(1) = F(1) - F(x) para x logo antes de 1. Como antes de 1, F(x)=0, então p(1) = 0,7 - 0 = 0,7
  • p(4) = F(4) - F(x) para x logo antes de 4. Antes de 4, F(x)=0,7, então p(4) = 0,9 - 0,7 = 0,2
  • p(7) = F(7) - F(x) para x logo antes de 7. Antes de 7, F(x)=0,9, então p(7) = 1 - 0,9 = 0,1

Passo 5

Agora que temos as probabilidades nos pontos onde X pode assumir valores, vamos montar a função de probabilidade p(x) e definir o espaço amostral.

Resposta

A função de probabilidade p(x) é:
p(x)=cc 0,7 & x=1 0,2 & x=4 0,1 & x=7 0 & caso contrário á
E o espaço amostral de X é 1,,4,,7.

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