No processamento industrial um fluido (8,5 kN/m³) escoa entre dois pontos de uma tubulação horizontal, em A o diâmetro da tubulação é de 200 mm, a pressão do fluido está a 425 kPa, e sua velocidade a 4 m/s. Determine a velocidade e a pressão do fluido no ponto B onde o diâmetro tem a medida de 125 mm. São dados: g = 9,8 m/s², despreze as perdas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um fluido que está escoando entre dois pontos, A e B, de uma tubulação horizontal. No ponto A, o diâmetro é de 200 mm, a pressão é 425 kPa e a velocidade do fluido é 4 m/s. No ponto B, o diâmetro muda para 125 mm e queremos descobrir qual é a velocidade e a pressão do fluido nesse ponto. A gente sabe que o peso específico do fluido é 8,5 kN/m³ e a aceleração da gravidade é 9,8 m/s². Vamos usar os conceitos de conservação da massa e da energia (Equação de Bernoulli) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade do fluido. Sabemos que o peso específico γ é igual à densidade ρ multiplicada pela gravidade g:
gamma = rho cdot g
Então, rearranjando para encontrar ρ:
rho = gammag = 8,5,kN/m³9,8,m/s² approx 0,867,kg/m³ ³²³

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação da massa, que diz que a massa que entra no ponto A deve ser igual à massa que sai no ponto B. A equação é:
AA cdot vA = AB cdot vB
Onde A é a área da seção transversal e v é a velocidade do fluido.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as áreas das duas seções. A área de um círculo é A = pi cdot r²², mas como prefere utilizar o diâmetro, a fórmula fica:
A = pi cdot d²4 ²
Para o ponto A:
AA = pi cdot (0,200,m)²4 approx 0,0314,m² ²²
Para o ponto B:
AB = pi cdot (0,125,m)²4 approx 0,0123,m² ²²

Passo 5

Agora, aplicamos a equação da conservação da massa:
0,0314,m² cdot 4,m/s = 0,0123,m² cdot vB ²²
Resolvendo para vB:
vB = 0,0314 cdot 40,0123 approx 10,2,m/s

Passo 6

Agora que temos a velocidade no ponto B, vamos usar a Equação de Bernoulli para encontrar a pressão nesse ponto. A equação para fluxo horizontal, sem perda de energia, é:
PA + 12 rho vA² = PB + 12 rho vB² ²²
Nosso objetivo é encontrar PB.

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para isolar PB:
PB = PA + 12 rho vA² - 12 rho vB² ²²
Substituindo os valores conhecidos:
PB = 425,kPa + 12 cdot 0,867,kg/m³ cdot (4,m/s)² - 12 cdot 0,867,kg/m³ cdot (10,2,m/s)² ³²³²

Passo 8

Calculando cada termo:
12 cdot 0,867 cdot 16 = 6,936,Pa
12 cdot 0,867 cdot 104,04 approx 45,07,Pa
Então:
PB = 425,kPa + 6,936,Pa - 45,07,Pa approx 425,kPa - 38,134,Pa approx 424,96,kPa
Arredondando:
PB approx 425,kPa

Resposta

No ponto B, a velocidade do fluido é aproximadamente 10,2,m/s e a pressão é de cerca de 425,kPa.

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