O tempo de vida de peças metálicas foi medido antes e depois de um novo tratamento térmico. Amostras de 8 peças revelaram os seguintes tempos de vida (em horas):
Antes:
Depois:
Teste se o tratamento térmico aumentou significativamente o tempo de vida das peças (nível de significância de
.
Antes:
Depois:
Teste se o tratamento térmico aumentou significativamente o tempo de vida das peças (nível de significância de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se um tratamento térmico aumentou de verdade o tempo de vida das peças metálicas. Para isso, vamos usar teste de hipóteses na estatística, mais especificamente o teste t para amostras pareadas. Isso vai nos ajudar a comparar os tempos de vida antes e depois do tratamento em cada peça.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados. Temos as horas de vida das 8 peças antes e depois do tratamento:
- Antes: 200, 210, 220, 205, 215, 210, 220, 210
- Depois: 220, 225, 230, 220, 225, 230, 235, 230
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença entre o tempo de vida depois e antes para cada peça. Isso nos dá uma ideia de quanto o tratamento melhorou cada peça individualmente.
Vamos calcular:
- Peça 1: 220 - 200 = 20
- Peça 2: 225 - 210 = 15
- Peça 3: 230 - 220 = 10
- Peça 4: 220 - 205 = 15
- Peça 5: 225 - 215 = 10
- Peça 6: 230 - 210 = 20
- Peça 7: 235 - 220 = 15
- Peça 8: 230 - 210 = 20
Então, as diferenças são: 20, 15, 10, 15, 10, 20, 15, 20.
Passo 4
Vamos calcular a média das diferenças (
):
Passo 5
Agora, precisamos calcular o desvio padrão das diferenças (
). Primeiro, vamos calcular cada diferença menos a média, ao quadrado:
Somando esses valores:
Agora, calculamos a variância:
Então, o desvio padrão é:
Passo 6
Vamos calcular o erro padrão da média das diferenças (
):
Passo 7
Agora, calculamos o valor t:
Vamos verificar o t crítico para um nível de significância de 1% (
) com
graus de liberdade. Consultando uma tabela t, o valor crítico é aproximadamente 3,499.
Passo 8
Comparando o valor t calculado com o t crítico:
Isso significa que a diferença observada é estatisticamente significativa.
Resposta
Sim, o tratamento térmico aumentou significativamente o tempo de vida das peças metálicas com nível de significância de 1%.