O tempo de vida de peças metálicas foi medido antes e depois de um novo tratamento térmico. Amostras de 8 peças revelaram os seguintes tempos de vida (em horas):
Antes: 200,210,220,205,215,210,220,210
Depois: 220,225,230,220,225,230,235,230
Teste se o tratamento térmico aumentou significativamente o tempo de vida das peças (nível de significância de 1 %).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se um tratamento térmico aumentou de verdade o tempo de vida das peças metálicas. Para isso, vamos usar teste de hipóteses na estatística, mais especificamente o teste t para amostras pareadas. Isso vai nos ajudar a comparar os tempos de vida antes e depois do tratamento em cada peça.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos as horas de vida das 8 peças antes e depois do tratamento:
  • Antes: 200, 210, 220, 205, 215, 210, 220, 210
  • Depois: 220, 225, 230, 220, 225, 230, 235, 230

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença entre o tempo de vida depois e antes para cada peça. Isso nos dá uma ideia de quanto o tratamento melhorou cada peça individualmente.
D = Depois - Antes
Vamos calcular:
  • Peça 1: 220 - 200 = 20
  • Peça 2: 225 - 210 = 15
  • Peça 3: 230 - 220 = 10
  • Peça 4: 220 - 205 = 15
  • Peça 5: 225 - 215 = 10
  • Peça 6: 230 - 210 = 20
  • Peça 7: 235 - 220 = 15
  • Peça 8: 230 - 210 = 20
Então, as diferenças são: 20, 15, 10, 15, 10, 20, 15, 20.

Passo 4

Vamos calcular a média das diferenças ( barD = 20 + 15 + 10 + 15 + 10 + 20 + 15 + 208 = 1258 = 15,625 ):

Passo 5

Agora, precisamos calcular o desvio padrão das diferenças ( (20 - 15,625)^2 = 19,140625 (15 - 15,625)^2 = 0,390625 (10 - 15,625)^2 = 31,640625 (15 - 15,625)^2 = 0,390625 (10 - 15,625)^2 = 31,640625 (20 - 15,625)^2 = 19,140625 (15 - 15,625)^2 = 0,390625 (20 - 15,625)^2 = 19,140625 ). Primeiro, vamos calcular cada diferença menos a média, ao quadrado:
19,140625 + 0,390625 + 31,640625 + 0,390625 + 31,640625 + 19,140625 + 0,390625 + 19,140625 = 121,875
Somando esses valores:
sD^2 = 121,8758 - 1 = 121,8757 approx 17,4107
Agora, calculamos a variância:
sD = raiz17,4107 approx 4,17
Então, o desvio padrão é:

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão da média das diferenças ( SE = sDraizn = 4,17raiz8 approx 4,172,828 approx 1,47 ):

Passo 7

Agora, calculamos o valor t:
t = barDSE = 15,6251,47 approx 10,61
Vamos verificar o t crítico para um nível de significância de 1% ( ) com graus de liberdade. Consultando uma tabela t, o valor crítico é aproximadamente 3,499.

Passo 8

Comparando o valor t calculado com o t crítico:
10,61 > 3,499
Isso significa que a diferença observada é estatisticamente significativa.

Resposta

Sim, o tratamento térmico aumentou significativamente o tempo de vida das peças metálicas com nível de significância de 1%.

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