O tempo de resfriamento de uma peça de aço em um processo metalúrgico era de 30 minutos. Uma amostra de 12 peças revelou uma média de 28 minutos, com desvio padrão de 4 minutos. Teste a hipótese de que o tempo de resfriamento médio diminuiu (nível de significância de ).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de estatística aqui. A pergunta é sobre o tempo de resfriamento de uma peça de aço. Originalmente, esse tempo era de 30 minutos. Agora, uma amostra de 12 peças mostrou que a média é de 28 minutos, com um desvio padrão de 4 minutos. A gente precisa testar se o tempo médio de resfriamento diminuiu, usando um nível de significância de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é teste de hipótese. A gente começa formulando duas hipóteses: a hipótese nula ( ) e a hipótese alternativa ( ). No nosso caso:
  • : O tempo médio de resfriamento é igual a 30 minutos. ( )
  • : O tempo médio de resfriamento é menor que 30 minutos. ( )

Passo 3

Como o desvio padrão da população não é conhecido e a amostra é pequena (n = 12), vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o t é:
Onde:
  • é a média amostral (28 minutos)
  • é a média hipotética (30 minutos)
  • é o desvio padrão amostral (4 minutos)
  • é o tamanho da amostra (12)

Passo 4

Vamos calcular o valor do t:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de t para um teste unilateral à esquerda com nível de significância de 5% e 11 graus de liberdade (n - 1 = 12 - 1 = 11). Consultando a tabela t, o valor crítico é aproximadamente -1.796.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t (-1.732) com o valor crítico (-1.796):
  • Se t calculado < t crítico: Rejeitamos
  • Se t calculado ≥ t crítico: Não rejeitamos
Aqui, -1.732 > -1.796, então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para afirmar que o tempo médio de resfriamento diminuiu abaixo de 30 minutos ao nível de significância de 5%.

Exercícios relacionados

Um processo de fabricação de peças metálicas tem um peso médio histórico de 500 gramas. Uma amostra de 20 peças revelou um peso médio de 510 gramas, com desvio padrão de 8 gramas. Teste, ao nível de significância de , se houve um aumento significativo no peso médio.
O teor de carbono de uma liga metálica foi medido em 40 amostras, resultando em uma média de e um desvio padrão de . Construa um intervalo de confiança de para o teor médio de carbono.
O tempo de vida de peças metálicas foi medido antes e depois de um novo tratamento térmico. Amostras de 8 peças revelaram os seguintes tempos de vida (em horas):
Antes:
Depois:
Teste se o tratamento térmico aumentou significativamente o tempo de vida das peças (nível de significância de .
a) Qual a probabilidade de que o primeiro dado mostre a face 2 e o segundo a face 3 ? ( )