O processo de resfriamento de um corpo, conhecido como lei de resfriamento de Newton, é descrito por uma função exponencial dada
, onde T é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t , dado em minutos, Ta é a temperatura ambiente, que é considerada constante, e C e k são constantes. O referido corpo foi colocado dentro de um congelador que tem temperatura constante de - 24 graus. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu
após 90 minutos, e chegou a
após 180 minutos. Calcule o valor da constante C.
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema. Temos a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um corpo muda ao longo do tempo quando colocado em um ambiente com temperatura constante. A fórmula é:
Onde:
-
é a temperatura do corpo no tempo , -
é a temperatura ambiente, -
e são constantes que precisamos descobrir.
No nosso caso:
- A temperatura ambiente
é de . - Após 90 minutos (
), a temperatura do corpo é . - Após 180 minutos (
), a temperatura do corpo é .
Nosso objetivo é encontrar o valor da constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a informação de que após 90 minutos a temperatura é
. Substituindo esses valores na fórmula da Lei de Resfriamento:
Passo 3
Agora, faremos o mesmo com a informação de que após 180 minutos a temperatura é
:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema para encontrar
.
Primeiro, da primeira equação:
Passo 5
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 6
Para resolver
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 7
Agora que temos
, podemos substituir de volta na expressão para
:
Resposta
O valor da constante
é 72.