O processo de resfriamento de um corpo, conhecido como lei de resfriamento de Newton, é descrito por uma função exponencial dada T = Ta + C e^(-k t), onde T é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t , dado em minutos, Ta é a temperatura ambiente, que é considerada constante, e C e k são constantes. O referido corpo foi colocado dentro de um congelador que tem temperatura constante de - 24 graus. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0 graus C após 90 minutos, e chegou a -16°C após 180 minutos. Calcule o valor da constante C.

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema. Temos a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um corpo muda ao longo do tempo quando colocado em um ambiente com temperatura constante. A fórmula é:
Onde:
  • é a temperatura do corpo no tempo ,
  • é a temperatura ambiente,
  • e são constantes que precisamos descobrir.
No nosso caso:
  • A temperatura ambiente é de .
  • Após 90 minutos ( ), a temperatura do corpo é .
  • Após 180 minutos ( ), a temperatura do corpo é .
Nosso objetivo é encontrar o valor da constante .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação de que após 90 minutos a temperatura é . Substituindo esses valores na fórmula da Lei de Resfriamento:

Passo 3

Agora, faremos o mesmo com a informação de que após 180 minutos a temperatura é :

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Primeiro, da primeira equação:

Passo 5

Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 6

Para resolver , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 7

Agora que temos , podemos substituir de volta na expressão para :

Resposta

O valor da constante é 72.

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