Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q=Q(t) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t , então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t , denotada por , é dada por dQ/dt = -k * Q(t), onde k é uma constante que depende do elemento. O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de meia-vida do elemento. A meia-vida é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Portanto, se a meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice-versa.
Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da massa original, determine:
a) a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t.;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre decaimento radioativo. A gente precisa encontrar uma expressão que mostre quanto de uma substância resta após um certo tempo. Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e entender como a quantidade da substância muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, a equação que descreve o decaimento radioativo é:
Aqui, representa a quantidade da substância no tempo e é uma constante positiva que depende do elemento radioativo.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para resolver. Vamos reorganizar a equação:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para simplificar, vamos resolver para . Exponenciando ambos os lados, temos:
Podemos substituir por uma nova constante (a quantidade inicial da substância):

Passo 6

Sabemos que inicialmente, quando , a quantidade de substância é 50 miligramas. Vamos usar isso para encontrar :
Então, a equação fica:

Passo 7

Também sabemos que após 2 horas, a substância perdeu 10% da massa original, restando 90% de 50 mg, ou seja, 45 mg. Vamos usar isso para encontrar o valor de :
Dividindo ambos os lados por 50:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para :
Calculando:

Resposta

A expressão para a massa de substância restante em um tempo qualquer é:

Exercícios relacionados