Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento.
é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t , então a taxa de variação de
com respeito ao tempo t , denotada por , é dada por
, onde k é uma constante que depende do elemento. O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de meia-vida do elemento. A meia-vida é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Portanto, se a meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice-versa.
Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da massa original, determine:
a) a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t.;
Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da massa original, determine:
a) a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t.;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre decaimento radioativo. A gente precisa encontrar uma expressão que mostre quanto de uma substância resta após um certo tempo. Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e entender como a quantidade da substância muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, a equação que descreve o decaimento radioativo é:
Aqui,
representa a quantidade da substância no tempo
e
é uma constante positiva que depende do elemento radioativo.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para resolver. Vamos reorganizar a equação:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para simplificar, vamos resolver para
. Exponenciando ambos os lados, temos:
Podemos substituir
por uma nova constante
(a quantidade inicial da substância):
Passo 6
Sabemos que inicialmente, quando
, a quantidade de substância é 50 miligramas. Vamos usar isso para encontrar
:
Então, a equação fica:
Passo 7
Também sabemos que após 2 horas, a substância perdeu 10% da massa original, restando 90% de 50 mg, ou seja, 45 mg. Vamos usar isso para encontrar o valor de
:
Dividindo ambos os lados por 50:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para
:
Calculando:
Resposta
A expressão para a massa de substância restante em um tempo qualquer
é: