Considere que um objeto, cuja temperatura inicial é de
, e que, após 15 minutos, a temperatura do objeto é de
. Sabendo que a temperatura desse objeto 30 minutos após ter sido colocado nesse ambiente é
, calcule a temperatura desse ambiente.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício que envolve Lei de Resfriamento de Newton, que estuda como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente. Precisamos descobrir qual é a temperatura do ambiente, dado que a temperatura do objeto muda de
para
em 15 minutos e para
em 30 minutos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton:
Aqui:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura do ambiente (o que queremos encontrar). -
é a temperatura inicial do objeto. -
é a constante de resfriamento. -
é o tempo.
Passo 3
Vamos usar os dados que temos:
- Em
, . - Em
minutos, . - Em
minutos, .
Vamos chamar a temperatura do ambiente de
.
Passo 4
Primeiro, aplicamos a fórmula para
minutos:
E para
minutos:
Passo 5
Vamos chamar
para simplificar as equações:
Passo 6
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 7
Fatorando
:
Mas de outra forma, podemos dividir as duas equações para eliminar
:
Passo 8
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Logo:
Passo 9
Vamos substituir
na primeira equação:
Substituindo
:
Passo 10
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 11
Expandindo e simplificando a equação:
Simplificando termos semelhantes:
Passo 12
Resolvendo para
:
Resposta
A temperatura do ambiente é de
.