Procurar a frase 'velocidade de uma partícula de 3 kg é dada por v = (8,00tî + 3,00t²j) m/s, com o tempo ‘t’ em segundos. No instante em que a força resultante que age sobre a partícula tem módulo de 35N, quais são as orientações (em relação ao sentido positivo do eixo x)
(a) da força resultante e do
(b) movimento da partícula?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma partícula que pesa 3 kg e sua velocidade está descrita pela equação $ \vec{v} = (8,00t,\hat{i} + 3,00t^2,\hat{j}) $ m/s, onde $ t $ é o tempo em segundos. A pergunta quer saber, no momento em que a força total agindo nessa partícula tem um módulo de 35 N, quais são as direções dessa força e do movimento da partícula em relação ao sentido positivo do eixo $ x $. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente as leis de Newton e como calcular velocidade e aceleração a partir da posição ou da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a força, a massa e a aceleração. De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante $ \vec{F} $ é igual à massa $ m $ vezes a aceleração $ \vec{a} $:
F
Então, precisamos encontrar a aceleração da partícula para poder calcular a força resultante.

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Dada a velocidade $ \vec{v} = (8,00t,\hat{i} + 3,00t^2,\hat{j}) $, vamos derivar cada componente:
v = (8,00t,i + 3,00t^2,j)

Passo 4

Agora, aplicando a segunda lei de Newton para encontrar a força resultante:
F = m cdot a = 3,kg cdot (8,00,i + 6,00t,j) = (24,00,i + 18,00t,j) N
Queremos saber quando o módulo dessa força é 35 N. O módulo da força é dado por:
|F| = raiz(24,00)^2 + (18,00t)^2 = 35
Vamos resolver para $ t $:
t
raiz576 + 324t^2 = 35
576 + 324t^2 = 1225
324t^2 = 649
t^2 = 649324

Passo 5

Com o valor de $ t $ encontrado, vamos agora determinar as direções da força e do movimento da partícula.
Primeiro, a direção da força $ \vec{F} = (24,00,\hat{i} + 18,00t,\hat{j}) $. Substituindo $ t \approx 1,39 $ s:
t
A orientação da força em relação ao eixo $ x $ é dada pelo ângulo $ \theta_F $, onde:
F = (24,00,i + 18,00t,j)
t approx 1,39
Agora, a direção do movimento da partícula é a mesma da velocidade $ \vec{v} = (8,00t,\hat{i} + 3,00t^2,\hat{j}) $. Substituindo $ t \approx 1,39 $ s:
F approx (24,00,i + 25,02,j) N
O ângulo $ \theta_v $ da velocidade em relação ao eixo $ x $ é:
x
thetaF

Resposta

(a) A força resultante está orientada aproximadamente a $ 46,5^\circ $ acima do sentido positivo do eixo $ x $.
(b) O movimento da partícula está direcionado aproximadamente a $ 27,1^\circ $ acima do sentido positivo do eixo $ x $.

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