Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10% são defeituosas. Retiram-se 5 peças da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de que:
(b) pelo menos quatro sejam boas?
(b) pelo menos quatro sejam boas?
Passo 1
Vamos entender o problema: A máquina produz peças diariamente, das quais 10% são defeituosas, ou seja, 90% são boas. Retiramos 5 peças e queremos saber qual a probabilidade de que pelo menos 4 delas sejam boas. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações com dois resultados possíveis (neste caso, boa ou defeituosa) e com tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os parâmetros da distribuição binomial:
- Número de tentativas (
): 5 (número de peças retiradas). - Probabilidade de sucesso (
): 0,9 (probabilidade de uma peça ser boa). - Probabilidade de fracasso (
): 0,1 (probabilidade de uma peça ser defeituosa).
Passo 3
Queremos calcular a probabilidade de que pelo menos 4 peças sejam boas, ou seja,
. Isso inclui duas situações:
- Exatamente 4 peças são boas.
- Todas as 5 peças são boas.
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente e depois somá-las.
Passo 4
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas. -
é a probabilidade de acontecerem exatamente sucessos. -
é a probabilidade de acontecerem exatamente fracassos.
Passo 5
Vamos calcular
:
Calculando o coeficiente binomial:
Agora, substituindo:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Calculando o coeficiente binomial:
Substituindo:
Resposta
Somando as duas probabilidades:
Portanto, a probabilidade de que pelo menos quatro peças sejam boas é de aproximadamente 91,85%.