Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10% são defeituosas. Retiram-se 5 peças da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de que:
(b) pelo menos quatro sejam boas?

Passo 1

Vamos entender o problema: A máquina produz peças diariamente, das quais 10% são defeituosas, ou seja, 90% são boas. Retiramos 5 peças e queremos saber qual a probabilidade de que pelo menos 4 delas sejam boas. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações com dois resultados possíveis (neste caso, boa ou defeituosa) e com tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da distribuição binomial:
  • Número de tentativas ( ): 5 (número de peças retiradas).
  • Probabilidade de sucesso ( ): 0,9 (probabilidade de uma peça ser boa).
  • Probabilidade de fracasso ( ): 0,1 (probabilidade de uma peça ser defeituosa).

Passo 3

Queremos calcular a probabilidade de que pelo menos 4 peças sejam boas, ou seja, . Isso inclui duas situações:
  1. Exatamente 4 peças são boas.
  2. Todas as 5 peças são boas.
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente e depois somá-las.

Passo 4

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times q^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de acontecerem exatamente sucessos.
  • é a probabilidade de acontecerem exatamente fracassos.

Passo 5

Vamos calcular P(X = 4) = binom54 times 0,9^4 times 0,1^1 :
binom54 = 5
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 4) = 5 times (0,9)^4 times 0,1 approx 5 times 0,6561 times 0,1 approx 0,32805
Agora, substituindo:

Passo 6

Agora, vamos calcular P(X = 5) = binom55 times 0,9^5 times 0,1^0 :
binom55 = 1
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 5) = 1 times (0,9)^5 times 1 approx 0,59049
Substituindo:

Resposta

Somando as duas probabilidades:
P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) approx 0,32805 + 0,59049 = 0,91854
Portanto, a probabilidade de que pelo menos quatro peças sejam boas é de aproximadamente 91,85%.

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