Num supermercado há 2000 lâmpadas, provenientes de 3 fábricas distintas, X, Y e Z. A fábrica X produziu 500, das quais 400 são boas. A fábrica Y produziu 700, das quais 600 são boas, e Z as restantes, das quais 500 são boas. Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas nesse supermercado, qual a proabilidade de que:
(b) sendo defeituosa, tenha sido fabricada por X?

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está perguntando. Temos um total de 2000 lâmpadas num supermercado, vindas de três fábricas diferentes: X, Y e Z. A fábrica X produziu 500 lâmpadas (400 boas), Y produziu 700 (600 boas) e Z produziu as restantes, que são 800 (500 boas). A pergunta é: se a gente pega uma lâmpada defeituosa aleatoriamente, qual a probabilidade de ela ter sido fabricada pela fábrica X?
Aqui, a gente vai usar o conceito de probabilidade condicional, que nos ajuda a descobrir a chance de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantas lâmpadas defeituosas cada fábrica produziu.
  • Fábrica X: 500 produções - 400 boas = 100 defeituosas
  • Fábrica Y: 700 produções - 600 boas = 100 defeituosas
  • Fábrica Z: 800 produções - 500 boas = 300 defeituosas

Passo 3

Agora, vamos somar todas as lâmpadas defeituosas para saber o total de defeituosas no supermercado.
100 , (X) + 100 , (Y) + 300 , (Z) = 500 , defeituosas

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que, sendo uma lâmpada defeituosa, ela seja da fábrica X. Isso é representado por P(X ,|, defeituosa) = P(defeituosa ,|, X) times P(X)P(defeituosa) .
Usando a fórmula da probabilidade condicional:
P(X ,|, defeituosa) = 0.2 times 0.250.25 = 0.2
Onde:
  • (probabilidade de ser defeituosa dado que é da X)
  • (probabilidade de escolher uma lâmpada da X)
  • (probabilidade de escolher uma lâmpada defeituosa)
Substituindo na fórmula:

Resposta

A probabilidade de que, sendo defeituosa, a lâmpada tenha sido fabricada pela fábrica X é de 20%.

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