Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10% são defeituosas. Retiram-se 5 peças da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de que:
© exatamente três sejam boas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma máquina que produz peças, das quais 10% são defeituosas e 90% são boas. Hoje, tiramos 5 peças dessa produção. Queremos descobrir qual é a probabilidade de exatamente 3 dessas peças serem boas. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa cada termo na nossa situação:
  • Número de tentativas (n): é o total de peças que tiramos, que são 5.
  • Probabilidade de sucesso §: aqui, sucesso significa tirar uma peça boa, que é 90%, ou seja, .
  • Probabilidade de falha (q): significa tirar uma peça defeituosa, que é 10%, então .
  • Número de sucessos desejados (k): queremos exatamente 3 peças boas, então .

Passo 3

A fórmula para calcular a probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk cdot p^k cdot q^n-k
Onde é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial binom53 = 5!3!(5-3)! = 5 times 42 times 1 = 10 :
Então, há 10 maneiras de escolher 3 peças boas entre as 5.

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula:
P(3) = 10 cdot (0,9)^3 cdot (0,1)^2
Vamos calcular cada parte:
(0,9)^3 = 0,729
(0,1)^2 = 0,01

Passo 6

Multiplicando tudo:
P(3) = 10 cdot 0,729 cdot 0,01 = 10 cdot 0,00729 = 0,0729

Resposta

A probabilidade de que exatamente três das cinco peças retiradas sejam boas é de 7,29%.

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