Produto vetorial (geométrica): (i#) definição; (ii) suas propriedades; (iii) resultados importantes (ortogonalidade e paralelismo).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o produto vetorial na geometria. A gente vai cobrir três partes: (i) a definição do produto vetorial, (ii) suas propriedades principais, e (iii) resultados importantes como a ortogonalidade e o paralelismo. Para isso, vamos precisar entender vetores no espaço, como calcular o produto vetorial e interpretar seus resultados geométricos.
Passo 2
Primeiro, o que é o produto vetorial? O produto vetorial, também conhecido como produto cruzado, é uma operação entre dois vetores no espaço tridimensional que resulta em um novo vetor. Esse novo vetor é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial de dois vetores e é:
Aqui, , , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre as propriedades do produto vetorial:
Anticomutatividade: . Isso significa que trocar a ordem dos vetores muda a direção do vetor resultante.
Distributividade: . O produto vetorial distribui sobre a soma de vetores.
Compatibilidade com escalares: , onde é um número real.
Vetores paralelos: Se e são paralelos, então , o vetor nulo.
Passo 4
Por fim, vamos aos resultados importantes relacionados ao produto vetorial:
Ortogonalidade: O vetor resultante é sempre perpendicular tanto a quanto a . Isso é útil para encontrar uma direção que é perpendicular a um plano definido por dois vetores.
Paralelismo: Se o produto vetorial de dois vetores é o vetor nulo , isso indica que os vetores são paralelos ou um dos vetores é o vetor nulo. Ou seja, não há um vetor perpendicular não nulo resultante da operação.
Além disso, o módulo do produto vetorial representa a área do paralelogramo formado por e , o que é uma aplicação prática dessa operação.
Resposta
Então, resumindo, o produto vetorial é uma operação entre dois vetores que resulta em um novo vetor perpendicular aos originais, com propriedades como anticomutatividade e distributividade. Além disso, ele nos ajuda a entender relações de ortogonalidade e paralelismo entre vetores, sendo uma ferramenta essencial na geometria vetorial para calcular áreas e direções perpendiculares a planos definidos por vetores.