Produto vetorial (geométrica): (i#) definição; (ii) suas propriedades; (iii) resultados importantes (ortogonalidade e paralelismo).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o produto vetorial na geometria. A gente vai cobrir três partes: (i) a definição do produto vetorial, (ii) suas propriedades principais, e (iii) resultados importantes como a ortogonalidade e o paralelismo. Para isso, vamos precisar entender vetores no espaço, como calcular o produto vetorial e interpretar seus resultados geométricos.

Passo 2

Primeiro, o que é o produto vetorial? O produto vetorial, também conhecido como produto cruzado, é uma operação entre dois vetores no espaço tridimensional que resulta em um novo vetor. Esse novo vetor é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial de dois vetores e é:
Aqui, , , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre as propriedades do produto vetorial:
  1. Anticomutatividade: . Isso significa que trocar a ordem dos vetores muda a direção do vetor resultante.
  2. Distributividade: . O produto vetorial distribui sobre a soma de vetores.
  3. Compatibilidade com escalares: , onde é um número real.
  4. Vetores paralelos: Se e são paralelos, então , o vetor nulo.

Passo 4

Por fim, vamos aos resultados importantes relacionados ao produto vetorial:
  • Ortogonalidade: O vetor resultante é sempre perpendicular tanto a quanto a . Isso é útil para encontrar uma direção que é perpendicular a um plano definido por dois vetores.
  • Paralelismo: Se o produto vetorial de dois vetores é o vetor nulo , isso indica que os vetores são paralelos ou um dos vetores é o vetor nulo. Ou seja, não há um vetor perpendicular não nulo resultante da operação.
Além disso, o módulo do produto vetorial representa a área do paralelogramo formado por e , o que é uma aplicação prática dessa operação.

Resposta

Então, resumindo, o produto vetorial é uma operação entre dois vetores que resulta em um novo vetor perpendicular aos originais, com propriedades como anticomutatividade e distributividade. Além disso, ele nos ajuda a entender relações de ortogonalidade e paralelismo entre vetores, sendo uma ferramenta essencial na geometria vetorial para calcular áreas e direções perpendiculares a planos definidos por vetores.

Exercícios relacionados

Produto escalar (geométrica): (i#) definição; (ii) suas propriedades; (iii) resultados importantes (ortogonalidade e paralelismo); (iv#) lei dos cossenos; e (v) invariância.
XXVI) (-1/2 + 2/7) / (1/3 + 2/5)
Nas proposições abaixo, verifique através da tabela-verdade se é uma tautologia ou uma contradição ou uma contingência.
(a) [p e (não q)] -> [(não p) ou q]
Nas proposições abaixo, verifique através da tabela-verdade se é uma tautologia ou uma contradição ou uma contingência: (b) (p e q ou r) ⇔ (¬p) ou (¬q) ou (¬r).