Suponha que 1.000 consumidores sejam entrevistados e 850 declarem estar satisfeitos ou muito satisfeitos com os produtos e serviços de certa corporação. Teste a hipótese versus , com . Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para testar uma hipótese sobre a proporção de consumidores satisfeitos com os produtos e serviços de uma corporação. Para isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente teste de hipótese para proporções. Precisaremos entender como definir as hipóteses, calcular a estatística de teste, determinar as regiões de aceitação e rejeição, e chegar a uma conclusão com base no nível de significância dado.

Passo 2

Definindo a variável aleatória e o parâmetro
Primeiro, vamos identificar a variável aleatória do problema e o parâmetro que estamos testando.
  • Variável Aleatória (X): Número de consumidores satisfeitos em uma amostra.
  • Parâmetro §: Proporção de todos os consumidores que estão satisfeitos com a corporação.
No nosso caso, queremos testar se a proporção real de consumidores satisfeitos é igual a 0,9 (ou 90%).

Passo 3

Estabelecendo as hipóteses nula e alternativa
Com base no enunciado, formulamos as hipóteses da seguinte forma:
  • Hipótese Nula ( ):
    Isto significa que 90% dos consumidores estão satisfeitos.
  • Hipótese Alternativa ( ):
    Isso indica que a proporção de consumidores satisfeitos é diferente de 90%.

Passo 4

Calculando a Estatística de Teste
Para testar essa hipótese, vamos usar o teste z para proporções. A fórmula da estatística de teste é:
Onde:
  • é a proporção observada na amostra.
  • é a proporção hipotética (0,9 neste caso).
  • é o tamanho da amostra.
Primeiro, vamos calcular :
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Calculando o denominador:
Agora, o valor de z:

Passo 5

Determinação das Regiões de Aceitação e Rejeição
O nível de significância ( ) é 0,01828. Como o teste é bilateral ( ), dividimos pela metade para cada cauda da distribuição.
Agora, precisamos encontrar o valor crítico z que corresponde a na tabela de distribuição normal padrão.
Consultando a tabela, o valor crítico z para é aproximadamente 2,33.
Portanto, as regiões de rejeição são:
  • Rejeição à esquerda:
  • Rejeição à direita:
A região de aceitação fica entre esses valores:

Passo 6

Conclusão do Teste de Hipótese
Comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
Como o valor de z está na região de rejeição (à esquerda de -2,33), rejeitamos a hipótese nula.
Interpretação no Contexto do Problema:
Há evidências suficientes para concluir que a proporção de consumidores satisfeitos com os produtos e serviços da corporação é significativamente diferente de 90%.

Resposta

Rejeitamos a hipótese nula , concluindo que a proporção de consumidores satisfeitos é significativamente diferente de 90% com nível de significância de 1,828%.

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