Suponha que 1.000 consumidores sejam entrevistados e 850 declarem estar satisfeitos ou muito satisfeitos com os produtos e serviços de certa corporação. Teste a hipótese
versus
, com
. Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para testar uma hipótese sobre a proporção de consumidores satisfeitos com os produtos e serviços de uma corporação. Para isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente teste de hipótese para proporções. Precisaremos entender como definir as hipóteses, calcular a estatística de teste, determinar as regiões de aceitação e rejeição, e chegar a uma conclusão com base no nível de significância dado.
Passo 2
Definindo a variável aleatória e o parâmetro
Primeiro, vamos identificar a variável aleatória do problema e o parâmetro que estamos testando.
- Variável Aleatória (X): Número de consumidores satisfeitos em uma amostra.
- Parâmetro §: Proporção de todos os consumidores que estão satisfeitos com a corporação.
No nosso caso, queremos testar se a proporção real de consumidores satisfeitos é igual a 0,9 (ou 90%).
Passo 3
Estabelecendo as hipóteses nula e alternativa
Com base no enunciado, formulamos as hipóteses da seguinte forma:
-
Hipótese Nula (
):
Isto significa que 90% dos consumidores estão satisfeitos. -
Hipótese Alternativa (
):
Isso indica que a proporção de consumidores satisfeitos é diferente de 90%.
Passo 4
Calculando a Estatística de Teste
Para testar essa hipótese, vamos usar o teste z para proporções. A fórmula da estatística de teste é:
Onde:
-
é a proporção observada na amostra. -
é a proporção hipotética (0,9 neste caso). -
é o tamanho da amostra.
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Calculando o denominador:
Agora, o valor de z:
Passo 5
Determinação das Regiões de Aceitação e Rejeição
O nível de significância (
) é 0,01828. Como o teste é bilateral (
), dividimos
pela metade para cada cauda da distribuição.
Agora, precisamos encontrar o valor crítico z que corresponde a
na tabela de distribuição normal padrão.
Consultando a tabela, o valor crítico z para
é aproximadamente 2,33.
Portanto, as regiões de rejeição são:
- Rejeição à esquerda:
- Rejeição à direita:
A região de aceitação fica entre esses valores:
Passo 6
Conclusão do Teste de Hipótese
Comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
Como o valor de z está na região de rejeição (à esquerda de -2,33), rejeitamos a hipótese nula.
Interpretação no Contexto do Problema:
Há evidências suficientes para concluir que a proporção de consumidores satisfeitos com os produtos e serviços da corporação é significativamente diferente de 90%.
Resposta
Rejeitamos a hipótese nula
, concluindo que a proporção de consumidores satisfeitos é significativamente diferente de 90% com nível de significância de 1,828%.