Suponha que 1.000 consumidores sejam entrevistados e 850 declarem estar satisfeitos ou muito satisfeitos com os produtos e serviços de certa corporação. Teste a hipótese H0: p=0,9 versus H1: p neq 0,9, com alpha=0,01828. Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para testar uma hipótese sobre a proporção de consumidores satisfeitos com os produtos e serviços de uma corporação. Para isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente teste de hipótese para proporções. Precisaremos entender como definir as hipóteses, calcular a estatística de teste, determinar as regiões de aceitação e rejeição, e chegar a uma conclusão com base no nível de significância dado.

Passo 2

Definindo a variável aleatória e o parâmetro
Primeiro, vamos identificar a variável aleatória do problema e o parâmetro que estamos testando.
  • Variável Aleatória (X): Número de consumidores satisfeitos em uma amostra.
  • Parâmetro §: Proporção de todos os consumidores que estão satisfeitos com a corporação.
No nosso caso, queremos testar se a proporção real de consumidores satisfeitos é igual a 0,9 (ou 90%).

Passo 3

Estabelecendo as hipóteses nula e alternativa
Com base no enunciado, formulamos as hipóteses da seguinte forma:
  • Hipótese Nula ( H0): p = 0,9
    Isto significa que 90% dos consumidores estão satisfeitos.
  • Hipótese Alternativa ( H1): p neq 0,9
    Isso indica que a proporção de consumidores satisfeitos é diferente de 90%.

Passo 4

Calculando a Estatística de Teste
Para testar essa hipótese, vamos usar o teste z para proporções. A fórmula da estatística de teste é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • p é a proporção observada na amostra.
  • p0 é a proporção hipotética (0,9 neste caso).
  • n é o tamanho da amostra.
Primeiro, vamos calcular p:
p = 8501000 = 0,85
Agora, substituindo os valores na fórmula:
z = 0,85 - 0,9raiz0,9 times 0,11000
Calculando o denominador:
raiz0,9 times 0,11000 = raiz0,091000 = raiz0,00009 = 0,0094868
Agora, o valor de z:
z = -0,050,0094868 approx -5,27

Passo 5

Determinação das Regiões de Aceitação e Rejeição
O nível de significância ( alpha) é 0,01828. Como o teste é bilateral ( H1: p neq 0,9), dividimos alpha pela metade para cada cauda da distribuição.
alpha/2 = 0,00914
Agora, precisamos encontrar o valor crítico z que corresponde a 1 - alpha/2 na tabela de distribuição normal padrão.
Consultando a tabela, o valor crítico z para 1 - 0,00914 = 0,99086 é aproximadamente 2,33.
Portanto, as regiões de rejeição são:
  • Rejeição à esquerda: z < -2,33
  • Rejeição à direita: z > 2,33
A região de aceitação fica entre esses valores:
-2,33 <= z <= 2,33

Passo 6

Conclusão do Teste de Hipótese
Comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
z approx -5,27 < -2,33
Como o valor de z está na região de rejeição (à esquerda de -2,33), rejeitamos a hipótese nula.
Interpretação no Contexto do Problema:
Há evidências suficientes para concluir que a proporção de consumidores satisfeitos com os produtos e serviços da corporação é significativamente diferente de 90%.

Resposta

Rejeitamos a hipótese nula H0: p = 0,9, concluindo que a proporção de consumidores satisfeitos é significativamente diferente de 90% com nível de significância de 1,828%.

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