Supercavitação é uma tecnologia de propulsão para veículos submarinos, que pode aumentar grandemente sua velocidade. Isso ocorre acima de aproximadamente 50 metros por segundo, quando a pressão cai o suficiente para permitir que a água se dissocie em vapor de água, formando uma bolha de gás atrás do veículo. Quando a bolha de gás envolve completamente o veículo, a supercavitação ocorre. Uma total de n=8 testes foram conduzidos em um protótipo de um veículo submarino em um tanque, com uma velocidade média observada de barx=102,2 metros por segundo. Considere que a velocidade seja normalmente distribuída, com desvio-padrão conhecido sigma=4 metros por segundo. Testes hipóteses H0: mu=100 versus H1: mu<100, usando alpha=0,03515.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre supercavitação, uma tecnologia que ajuda submarinos a irem mais rápido. A gente tem um teste com 8 tentativas onde a velocidade média observada foi de 102,2 metros por segundo. A gente sabe que a velocidade segue uma distribuição normal com desvio-padrão de 4 metros por segundo. A gente precisa fazer um teste de hipótese para ver se a média real das velocidades é menor que 100 metros por segundo, usando um nível de significância de α = 0,03515.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória e o parâmetro que estamos testando. A variável aleatória aqui é a velocidade do submarino, que a gente chama de X. O parâmetro que estamos testando é a média dessa velocidade, que chamamos de μ.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula (H₀) é que a média das velocidades é igual a 100 metros por segundo. A hipótese alternativa (H₁) é que a média das velocidades é menor que 100 metros por segundo.
H0: mu = 100
H1: mu < 100

Passo 4

Vamos usar a estatística de teste z, já que conhecemos o desvio-padrão da população. A fórmula para o z é:
z = barx - musigma / raizn
Onde:
  • z = 102,2 - 1004 / raiz8 é a média amostral (102,2 m/s)
  • z = 2,21,4142 é a média sob H₀ (100 m/s)
  • z approx 1,555 é o desvio-padrão (4 m/s)
  • é o tamanho da amostra (8)
Vamos calcular:

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância α = 0,03515. Como a hipótese alternativa é do tipo “menor que”, vamos procurar o valor de z que deixa 3,515% da distribuição à esquerda. Usando uma tabela de z ou uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente -1,81.

Passo 6

Vamos identificar a região de aceitação e rejeição. Se o nosso z calculado for menor que -1,81, rejeitamos H₀. Caso contrário, não rejeitamos H₀.

Passo 7

Comparando o z calculado (1,555) com o valor crítico (-1,81):
1,555 > -1,81
Como o z calculado está na região de aceitação, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos dados e no teste realizado, não há evidências suficientes para concluir que a média das velocidades dos submarinos é menor que 100 metros por segundo.

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