Supercavitação é uma tecnologia de propulsão para veículos submarinos, que pode aumentar grandemente sua velocidade. Isso ocorre acima de aproximadamente 50 metros por segundo, quando a pressão cai o suficiente para permitir que a água se dissocie em vapor de água, formando uma bolha de gás atrás do veículo. Quando a bolha de gás envolve completamente o veículo, a supercavitação ocorre. Uma total de
testes foram conduzidos em um protótipo de um veículo submarino em um tanque, com uma velocidade média observada de
metros por segundo. Considere que a velocidade seja normalmente distribuída, com desvio-padrão conhecido
metros por segundo. Testes hipóteses
versus
, usando
.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre supercavitação, uma tecnologia que ajuda submarinos a irem mais rápido. A gente tem um teste com 8 tentativas onde a velocidade média observada foi de 102,2 metros por segundo. A gente sabe que a velocidade segue uma distribuição normal com desvio-padrão de 4 metros por segundo. A gente precisa fazer um teste de hipótese para ver se a média real das velocidades é menor que 100 metros por segundo, usando um nível de significância de α = 0,03515.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável aleatória e o parâmetro que estamos testando. A variável aleatória aqui é a velocidade do submarino, que a gente chama de X. O parâmetro que estamos testando é a média dessa velocidade, que chamamos de μ.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer as hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula (H₀) é que a média das velocidades é igual a 100 metros por segundo. A hipótese alternativa (H₁) é que a média das velocidades é menor que 100 metros por segundo.
Passo 4
Vamos usar a estatística de teste z, já que conhecemos o desvio-padrão da população. A fórmula para o z é:
Onde:
-
é a média amostral (102,2 m/s) -
é a média sob H₀ (100 m/s) -
é o desvio-padrão (4 m/s) -
é o tamanho da amostra (8)
Vamos calcular:
Passo 5
Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância α = 0,03515. Como a hipótese alternativa é do tipo “menor que”, vamos procurar o valor de z que deixa 3,515% da distribuição à esquerda. Usando uma tabela de z ou uma calculadora, encontramos que o valor crítico é aproximadamente -1,81.
Passo 6
Vamos identificar a região de aceitação e rejeição. Se o nosso z calculado for menor que -1,81, rejeitamos H₀. Caso contrário, não rejeitamos H₀.
Passo 7
Comparando o z calculado (1,555) com o valor crítico (-1,81):
Como o z calculado está na região de aceitação, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos dados e no teste realizado, não há evidências suficientes para concluir que a média das velocidades dos submarinos é menor que 100 metros por segundo.
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Suponha que 1.000 consumidores sejam entrevistados e 850 declarem estar satisfeitos ou muito satisfeitos com os produtos e serviços de certa corporação. Teste a hipótese
versus
, com
. Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
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eixos é testada e
. Sabe-se que
e que o desgaste é normalmente distribuído. Teste
(0,0001 polegada) versus
( 0,0001 polegada), usando
.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
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