Um professor escreveu uma progressão aritmética crescente de 8 termos começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais. Ele notou, então, que o segundo, o quarto e o oitavo termos dessa progressão aritmética formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. O professor observou também que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a
a)42
b)36
c)18
d)9​

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos fala sobre uma progressão aritmética (PA) crescente com 8 termos, começando com o número 3. Além disso, os termos 2, 4 e 8 dessa PA formam uma progressão geométrica (PG). A gente precisa descobrir qual é a soma desses termos da PG, que pode ser uma das opções dadas: 42, 36, 18 ou 9. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de PA e PG e relacionar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa PA, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma, chamada de razão da PA, que vamos chamar de $ r $.
Então, os termos da PA são:
  • Primeiro termo ($ a_1 $) = 3
  • Segundo termo ($ a_2 $) = $ 3 + r $
  • Quarto termo ($ a_4 $) = $ 3 + 3r $
  • Oitavo termo ($ a_8 $) = $ 3 + 7r $

Passo 3

Agora, segundo o enunciado, $ a_2 $, $ a_4 $ e $ a_8 $ formam uma PG. Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é constante. Então, temos:
a2
Substituindo os valores da PA:
a4

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ r $. Primeiro, fazemos o produto cruzado:
r
Expandindo ambos os lados:
(3 + 3r)^2 = (3 + r)(3 + 7r)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
9 + 18r + 9r^2 - 9 - 24r - 7r^2 = 0
2r^2 - 6r = 0
Factorizando:
2r(r - 3) = 0
Então, $ r = 0 $ ou $ r = 3 $. Mas como a PA é crescente, $ r $ não pode ser zero. Portanto, $ r = 3 $.

Passo 6

Com $ r = 3 $, vamos encontrar os termos da PG:
  • $ a_2 = 3 + 3 = 6 $
  • $ a_4 = 3 + 9 = 12 $
  • $ a_8 = 3 + 21 = 24 $
Então, a PG é 6, 12, 24.

Passo 7

Agora, vamos somar esses termos da PG:
6 + 12 + 24 = 42

Resposta

A soma dos termos da progressão geométrica é 42.

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