Um professor possui um chaveiro com 15 chaves. Se consideramos que ele escolhe as chaves de modo aleatório. c) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de
tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um professor com um chaveiro que tem 15 chaves. Ele vai escolher as chaves de maneira aleatória e quer saber qual a probabilidade de ele conseguir abrir a porta antes de tentar
chaves, descartando as que já tentou. Aqui, estamos trabalhando com probabilidade sem reposição, ou seja, ele não vai tentar a mesma chave mais de uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que existe apenas uma chave que abre a porta. Então, temos 1 chave certa e 14 erradas no total de 15 chaves.
Passo 3
A probabilidade de não abrir a porta em uma tentativa é quando ele escolhe uma das chaves erradas. Na primeira tentativa, a chance de errar é
.
Passo 4
Para não abrir a porta nas primeiras
tentativas, ele precisa errar todas as vezes. Como ele descarta as chaves já tentadas, a probabilidade de errar na segunda tentativa é
, na terceira é
, e assim por diante, até a
-ésima tentativa, que seria
.
Passo 5
A probabilidade de não abrir a porta nas primeiras
tentativas é o produto das probabilidades de errar em cada tentativa:
Você pode ver que muitas frações se cancelam, restando apenas
.
Passo 6
Agora, queremos a probabilidade de abrir a porta antes de
tentativas. Isso é o complemento da probabilidade de não abrir:
Resposta
A probabilidade de o professor abrir a porta antes de
tentativas é
.
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