Um professor possui um chaveiro com 15 chaves. Se consideramos que ele escolhe as chaves de modo aleatório. c) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de k tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um professor com um chaveiro que tem 15 chaves. Ele vai escolher as chaves de maneira aleatória e quer saber qual a probabilidade de ele conseguir abrir a porta antes de tentar k chaves, descartando as que já tentou. Aqui, estamos trabalhando com probabilidade sem reposição, ou seja, ele não vai tentar a mesma chave mais de uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que existe apenas uma chave que abre a porta. Então, temos 1 chave certa e 14 erradas no total de 15 chaves.

Passo 3

A probabilidade de não abrir a porta em uma tentativa é quando ele escolhe uma das chaves erradas. Na primeira tentativa, a chance de errar é .

Passo 4

Para não abrir a porta nas primeiras k tentativas, ele precisa errar todas as vezes. Como ele descarta as chaves já tentadas, a probabilidade de errar na segunda tentativa é , na terceira é 12/13, e assim por diante, até a k-ésima tentativa, que seria .

Passo 5

A probabilidade de não abrir a porta nas primeiras k tentativas é o produto das probabilidades de errar em cada tentativa:
ã
Você pode ver que muitas frações se cancelam, restando apenas .

Passo 6

Agora, queremos a probabilidade de abrir a porta antes de k tentativas. Isso é o complemento da probabilidade de não abrir:
ã

Resposta

A probabilidade de o professor abrir a porta antes de k tentativas é .

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