Um professor possui um chaveiro com 15 chaves. Se consideramos que ele escolhe as chaves de modo aleatório. f) Qual a probabilidade dele abrir a porta na 7^a tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidade e envolve combinação de chaves. Precisamos descobrir a chance de um professor conseguir abrir a porta na 7ª tentativa, escolhendo aleatoriamente uma chave de um chaveiro com 15 chaves, sem descartar as já tentadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa abrir a porta na 7ª tentativa. Isso quer dizer que nas primeiras 6 tentativas, ele não conseguiu abrir a porta, e na 7ª conseguiu.

Passo 3

Como ele não descarta as chaves já tentadas, cada tentativa é independente. Isso significa que a probabilidade de escolher qualquer chave é sempre a mesma em cada tentativa.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de não abrir a porta em uma tentativa. Se há 15 chaves e apenas 1 abre a porta, então 14 chaves não funcionam. Então, a chance de não abrir a porta em uma tentativa é:
ã

Passo 5

Agora, queremos que nas primeiras 6 tentativas ele não abra a porta. Como as tentativas são independentes, multiplicamos a probabilidade de não abrir 6 vezes:

Passo 6

Depois das 6 tentativas sem sucesso, na 7ª ele deve abrir. A probabilidade de abrir na 7ª tentativa é:
ª

Passo 7

Agora, juntando tudo, a probabilidade total de abrir na 7ª tentativa é o produto da probabilidade de não abrir nas primeiras 6 e abrir na 7ª:
ª

Passo 8

Vamos calcular os valores numéricos:

Resposta

A probabilidade de abrir a porta na 7ª tentativa é aproximadamente 4,4%.

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