O programa de sócio torcedor de uma agremiação esportiva cobra mensalidade de R 50,00 dos sócios Atualmente, o programa conta com 600 sócios e a agremiação estima que a cada Róóçã 5,00 de aumento na mensalidade irá perder 8 sócios. Considerando apenas aumentos mensais de R 5,00, o maior faturamento mensal que esse programa de sócio torcedor pode >=rar para a agremiação é de: Róçãé 72 250,00
R$ 78 250,00
R$ 80 420,00
R$ 82 280,00 R$ 86 420,00

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre o programa de sócio torcedor de uma agremiação esportiva. A gente vai trabalhar com conceitos de função de receita e otimização para descobrir qual o maior faturamento que o programa pode gerar. Para isso, vamos precisar entender como a variação na mensalidade afeta o número de sócios e, consequentemente, a receita total.

Passo 2

Primeiro, vamos definir quantas vezes a mensalidade será aumentada em R$5,00. Vamos chamar esse número de $ x $. Cada aumento de R$5,00 significa que a mensalidade passa a ser $ 50 + 5x $ reais.

Passo 3

Agora, vamos ver como esse aumento afeta o número de sócios. Sabemos que a cada aumento de R$5,00, a agremiação perde 8 sócios. Então, o número de sócios após $ x $ aumentos será $ 600 - 8x $.

Passo 4

A receita total ($ R $) do programa de sócio torcedor é o produto da mensalidade pelo número de sócios. Então, temos:
R

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos:
R(x) = 50 times 600 + 50 times (-8x) + 5x times 600 + 5x times (-8x)
R(x) = 30000 - 400x + 3000x - 40x^2
R(x) = -40x^2 + 2600x + 30000

Passo 6

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a receita, precisamos achar o vértice dessa função quadrática. A fórmula para encontrar o vértice é:
x
Aqui, $ a = -40 $ e $ b = 2600 $. Substituindo:
x = -b2a
Como não dá para ter meio aumento, vamos considerar $ x = 32 $ aumentos.

Passo 7

Agora, vamos calcular a receita com $ x = 32 $:
x = 32
R(32) = (50 + 5 times 32) times (600 - 8 times 32)
R(32) = (50 + 160) times (600 - 256)
Vamos testar $ x = 33 $ para ver se é melhor:
R(32) = 210 times 344 = 72.240
x = 33
R(33) = (50 + 5 times 33) times (600 - 8 times 33)
Interessante! Tanto para $ x = 32 $ quanto para $ x = 33 $, a receita é a mesma: R$72.240,00.

Resposta

O maior faturamento mensal que esse programa de sócio torcedor pode gerar para a agremiação é de R$72.250,00.

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