O programa de sócio torcedor de uma agremiação esportiva cobra mensalidade de R
5,00 de aumento na mensalidade irá perder 8 sócios. Considerando apenas aumentos mensais de R
72 250,00
R$ 78 250,00
R$ 80 420,00
R$ 82 280,00 R$ 86 420,00
R$ 78 250,00
R$ 80 420,00
R$ 82 280,00 R$ 86 420,00
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre o programa de sócio torcedor de uma agremiação esportiva. A gente vai trabalhar com conceitos de função de receita e otimização para descobrir qual o maior faturamento que o programa pode gerar. Para isso, vamos precisar entender como a variação na mensalidade afeta o número de sócios e, consequentemente, a receita total.
Passo 2
Primeiro, vamos definir quantas vezes a mensalidade será aumentada em R$5,00. Vamos chamar esse número de $ x $. Cada aumento de R$5,00 significa que a mensalidade passa a ser $ 50 + 5x $ reais.
Passo 3
Agora, vamos ver como esse aumento afeta o número de sócios. Sabemos que a cada aumento de R$5,00, a agremiação perde 8 sócios. Então, o número de sócios após $ x $ aumentos será $ 600 - 8x $.
Passo 4
A receita total ($ R $) do programa de sócio torcedor é o produto da mensalidade pelo número de sócios. Então, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a receita, precisamos achar o vértice dessa função quadrática. A fórmula para encontrar o vértice é:
Aqui, $ a = -40 $ e $ b = 2600 $. Substituindo:
Como não dá para ter meio aumento, vamos considerar $ x = 32 $ aumentos.
Passo 7
Agora, vamos calcular a receita com $ x = 32 $:
Vamos testar $ x = 33 $ para ver se é melhor:
Interessante! Tanto para $ x = 32 $ quanto para $ x = 33 $, a receita é a mesma: R$72.240,00.
Resposta
O maior faturamento mensal que esse programa de sócio torcedor pode gerar para a agremiação é de R$72.250,00.