Projete um combinação de resistores, capacitores, e/ou indutores, de tal maneira que a admitância equivalente com omega=10 rad / s seja (a) 1 S utilizando pelo menos um capacitor;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você pediu. A gente precisa montar um circuito com resistores, capacitores e/ou indutores de forma que a admitância equivalente seja igual a 1 S quando a frequência angular omega for 10 rad/s. E, além disso, tem que ter pelo menos um capacitor nesse esquema. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a admitância de cada componente e como combinar elas para chegar no valor desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é admitância. Admitância ( Y) é basicamente a facilidade com que a corrente passa por um circuito quando uma tensão é aplicada. Ela é o inverso da impedância ( Z), ou seja, Y = 1Z. A admitância é composta por duas partes: a condutância ( G), que representa a parte real, e a susceptância ( B), que representa a parte imaginária.
Para os componentes que vamos usar:
  • Resistor ®: A admitância de um resistor é YR = 1R.
  • Capacitor ©: A admitância de um capacitor é YC = jomega C, onde j é a unidade imaginária e omega é a frequência angular.
  • Indutor (L): A admitância de um indutor é YL = 1jomega L.
Como queremos uma admitância equivalente de 1 S e precisamos usar pelo menos um capacitor, vamos considerar um circuito onde o resistor e o capacitor estão em paralelo. Nesse caso, as admitâncias se somam:
Ytotal = YR + YC

Passo 3

Vamos substituir as expressões das admitâncias no nosso caso:
Ytotal = 1R + jomega C
Nosso objetivo é que a magnitude dessa admitância seja 1 S. A magnitude de Ytotal é dada por:
|Ytotal| = raiz(1R)^2 + (omega C)^2 = 1
Agora, sabemos que omega = 10 rad/s, então podemos substituir esse valor na equação:
raiz(1R)^2 + (10 C)^2 = 1

Passo 4

Para resolver essa equação, podemos escolher um valor para o capacitor e encontrar o resistor correspondente, ou vice-versa. Vamos escolher um valor simples para o capacitor para facilitar os cálculos. Digamos que escolhemos C = 0,01 F (ou 10 mF).
Substituindo C = 0,01 F na equação:
raiz(1R)^2 + (10 times 0,01)^2 = 1 raiz(1R)^2 + 0,01 = 1

Passo 5

Agora, vamos resolver para R. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(1R)^2 + 0,01 = 1 (1R)^2 = 1 - 0,01 (1R)^2 = 0,99 1R = raiz0,99 1R approx 0,995
Agora, isolamos R:
R approx 10,995 R approx 1,005 , Omega

Resposta

Então, uma combinação que atende aos requisitos é usar um resistor de aproximadamente 1,005 , Omega em paralelo com um capacitor de 0,01 F. Com esses valores, a admitância equivalente do circuito será de 1 S quando omega = 10 , rad/s.

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