Projete um combinação de resistores, capacitores, e/ou indutores, de tal maneira que a admitância equivalente com
seja (a) 1 S utilizando pelo menos um capacitor;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você pediu. A gente precisa montar um circuito com resistores, capacitores e/ou indutores de forma que a admitância equivalente seja igual a 1 S quando a frequência angular
for 10 rad/s. E, além disso, tem que ter pelo menos um capacitor nesse esquema. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a admitância de cada componente e como combinar elas para chegar no valor desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é admitância. Admitância (
) é basicamente a facilidade com que a corrente passa por um circuito quando uma tensão é aplicada. Ela é o inverso da impedância (
), ou seja,
. A admitância é composta por duas partes: a condutância (
), que representa a parte real, e a susceptância (
), que representa a parte imaginária.
Para os componentes que vamos usar:
- Resistor ®: A admitância de um resistor é
. - Capacitor ©: A admitância de um capacitor é
, onde é a unidade imaginária e é a frequência angular. - Indutor (L): A admitância de um indutor é
.
Como queremos uma admitância equivalente de 1 S e precisamos usar pelo menos um capacitor, vamos considerar um circuito onde o resistor e o capacitor estão em paralelo. Nesse caso, as admitâncias se somam:
Passo 3
Vamos substituir as expressões das admitâncias no nosso caso:
Nosso objetivo é que a magnitude dessa admitância seja 1 S. A magnitude de
é dada por:
Agora, sabemos que
rad/s, então podemos substituir esse valor na equação:
Passo 4
Para resolver essa equação, podemos escolher um valor para o capacitor e encontrar o resistor correspondente, ou vice-versa. Vamos escolher um valor simples para o capacitor para facilitar os cálculos. Digamos que escolhemos
F (ou 10 mF).
Substituindo
F na equação:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, isolamos
:
Resposta
Então, uma combinação que atende aos requisitos é usar um resistor de aproximadamente
em paralelo com um capacitor de
F. Com esses valores, a admitância equivalente do circuito será de 1 S quando
.